Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ 1D31C1179 из 312

Радиус описанной окружности по стороне и противолежащему углу

Рисунок из условия ФИПИ 1D31C1

В треугольнике ABC  угол C  равен 60° , AB=10 3 . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1D31C1.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 10.

Что нужно найти

Радиус описанной окружности по стороне и противолежащему углу

Идея решения

Сторона AB лежит напротив угла C. По расширенной теореме синусов AB = 2R · sin C. Найдём синус известного угла, затем разделим AB на удвоенный синус.

Угол C
60∘60^\circ
Сторона AB
10310 \sqrt{3}
Найти
радиус R

Связываем сторону с диаметром

Проведём через вершину A диаметр окружности. Треугольник, образованный этим диаметром и хордой AB, прямоугольный. Отношение AB к диаметру равно синусу угла, опирающегося на AB. Для тупого C используется смежный острый угол с тем же синусом.

  • AB — сторона напротив C
  • OA = OB = R
sin⁡C\sin C=AB2R=\frac{AB}{2R}
ABAB=2Rsin⁡C=2R\sin C

В знаменателе стоит диаметр 2R, а не радиус R.

Хорда AB лежит напротив угла C

Хорда AB лежит напротив угла C. Зелёные отрезки OA и OB — радиусы описанной окружности.
Обозначения на чертеже
  • AB — сторона напротив C
  • OA = OB = R
  • Угол C дан
Хорда AB лежит напротив угла C. Зелёные отрезки OA и OB — радиусы описанной окружности.
Открыть схему крупнее ↗

Находим синус заданного угла

Это стандартный острый угол. Вспомним его точное значение синуса.

sin⁡60∘\sin 60^\circ=32=\frac{\sqrt{3}}{2}

В прямоугольной половине равностороннего треугольника катет напротив 60° равен a√3/2, гипотенуза — a; их отношение равно √3/2.

Выражаем радиус

Разделим обе части AB = 2R sin C на положительное число 2 sin C.

  • AB — сторона напротив C
  • OA = OB = R
RR=AB2sin⁡C=\frac{AB}{2\sin C}

Знаменатель — произведение 2 и найденного синуса.

Упрощаем знаменатель

Сначала умножим точное значение синуса на 2.

22⋅32\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
=2⋅32=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{2}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

=232=\frac{2 \sqrt{3}}{2}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

=3=\sqrt{3}

Двойка сокращается со знаменателем дроби для синуса.

Подставляем сторону и вычисляем радиус

Теперь разделим сторону AB на упрощённый знаменатель. Если в числителе и знаменателе одинаковый корень, сокращаем его как общий ненулевой множитель.

  • AB — сторона напротив C
  • OA = OB = R
RR=1033=\frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}
=10=10

Получили точный радиус.

Проверяем сторону

Подставим R обратно в AB = 2R sin C.

  • AB — сторона напротив C
  • OA = OB = R
22⋅10\cdot10⋅32\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
=103=10 \sqrt{3}

Совпало с условием. Значение найдено верно.

Записываем ответ

Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

1010

Ответ: 10.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаРадиус описанной окружности по стороне и противолежащему углу
Ответ1010

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Найдите сторону напротив известного угла.
  2. Запишите AB = 2R sin C.
  3. Вычислите sin C, при необходимости перейдя к смежному углу.
  4. Разделите сторону на 2 sin C.
  5. Проверьте восстановлением стороны.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • AB=2Rsin⁡CAB=2R\sin C — расширенная теорема синусов.
  • sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha.
  • sin⁡30∘=12\sin30^\circ=\frac12, sin⁡45∘=22\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}, sin⁡60∘=32\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Угол C противолежит стороне AB; подставлять синус соседнего угла нельзя.
  • Не забывайте множитель 2 перед R.
  • Синус тупого угла положителен и равен синусу смежного острого угла.
Все задания №16 (312)