Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ 65C65C296 из 312

Площадь квадрата по окружности с центром в середине стороны

Рисунок из условия ФИПИ 65C65C

Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 35. Найдите площадь квадрата ABCD.

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 65C65C.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 36.

Что нужно найти

Площадь квадрата по окружности с центром в середине стороны

Идея решения

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADO. Если сторона квадрата равна a, то AD = a, DO = a/2, OA — известный радиус. Теорема Пифагора сразу даст a², то есть площадь квадрата.

Радиус OA
353 \sqrt{5}
Точка O
середина CD
Найти
площадь квадрата

Находим прямоугольный треугольник

O лежит на стороне CD. Так как AD перпендикулярна CD, угол ADO прямой. OA — гипотенуза и одновременно радиус окружности.

  • AD = a
  • DO = a / 2
  • OA = R
ADAD=a,DO=a,\quad DO
=a2,OA=\frac a2,\quad OA
=R=R

Половина стороны DO появляется из того, что O — середина CD.

Выделен прямоугольный треугольник ADO: его катеты равны a и a/2, гипотенуза — радиус R

Выделен прямоугольный треугольник ADO: его катеты равны a и a/2, гипотенуза — радиус R.
Обозначения на чертеже
  • AD = a
  • DO = a / 2
  • OA = R
  • Ищем S = a²
Выделен прямоугольный треугольник ADO: его катеты равны a и a/2, гипотенуза — радиус R.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем теорему Пифагора

Складываем квадраты катетов. Для сложения приводим a² к знаменателю 4.

  • AD = a
  • DO = a / 2
  • OA = R
R2R^2=a2=a^2+(a2)2+\left(\frac a2\right)^2
R2R^2=a2=a^2+a24+\frac{a^2}{4}
=4a2+a24=\frac{4a^2+a^2}{4}
=5a24=\frac{5a^2}{4}

Квадрат половины стороны — a²/4, а не a²/2.

Выражаем площадь

Умножим обе части равенства на 4 и разделим на 5. Поскольку S = a², получим сразу формулу площади.

  • AD = a
  • DO = a / 2
  • OA = R
4R24R^2=5a2=5a^2
SS=a2=a^2
=4R25=\frac{4R^2}{5}

Не нужно отдельно вычислять сторону.

Подставляем радиус и вычисляем

Сначала возведём радиус в квадрат, затем умножим на 4 и разделим на 5.

  • OA = R
R2R^2=352={3 \sqrt{5}}^{2}
=45=45
SS=4⋅455=\frac{4\cdot45}{5}
=1805=\frac{180}{5}
=36=36

Квадрат корня равен подкоренному выражению.

Проверяем сумму квадратов катетов

Квадрат AD равен S, квадрат DO — S/4. Их сумма должна дать R².

  • AD = a
  • DO = a / 2
  • OA = R
3636+364+\frac{36}{4}=45=45

Получился квадрат заданного радиуса.

Записываем ответ

Мы нашли площадь. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

3636

Ответ: 36.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаПлощадь квадрата по окружности с центром в середине стороны
Ответ3636

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте сторону a.
  2. Выберите прямоугольный треугольник ADO.
  3. Запишите OA² = AD² + DO².
  4. Подставьте DO = a/2 и выразите a².
  5. Проверьте радиус по найденной площади.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Стороны квадрата равны, соседние стороны перпендикулярны.
  • Середина делит сторону на два равных отрезка.
  • S=a2S=a^2 — площадь квадрата.
  • В прямоугольном треугольнике c2=a2+b2c^2=a^2+b^2.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Центр данной окружности находится в середине стороны, а не в центре квадрата.
  • Не используйте здесь формулу радиуса описанной около квадрата окружности.
  • Найдя a², не извлекайте корень: требуется площадь, а не сторона.
Все задания №16 (312)