Площадь прямоугольника по диаметру окружности и синусу

Question

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $5/13$ . Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

$Прямоугольник с диагональю и описанной окружностью$

Answer 1

Что нужно найти

Площадь прямоугольника по диаметру окружности и синусу

Идея решения

Диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности. Она делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. По синусу найдём один катет, по теореме Пифагора — второй, затем перемножим стороны.

Диаметр окружности d: $26$
Синус угла: $\dfrac{5}{13}$
Найти: площадь прямоугольника

Выделяем прямоугольный треугольник

Назовём вершины прямоугольника A, B, C, D. Пусть заданный угол α расположен между AB и диагональю AC. Тогда AC — гипотенуза, BC — противолежащий катет.

AC = d — диагональ
BC = b — напротив α
AB = a — вторая сторона

AC

=d,\quad AB

=a,\quad BC

=b

\sin\alpha

=\frac bd

Если в исходном рисунке выбран угол с другой стороной, роли a и b меняются, а их произведение остаётся тем же.

Диагональ AC — гипотенуза треугольника ABC и диаметр окружности. Против угла α расположен катет BC.

Находим сторону по синусу

Умножаем обе части sin α = b/d на d.

BC = b — напротив α

b

=d\sin\alpha

b

=26

\cdot\frac{5}{13}

=\frac{26\cdot5}{13}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

=\frac{130}{13}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

=10

Нашли длину одной стороны прямоугольника.

Вычисляем квадрат другой стороны

Из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета.

BC = b — напротив α
AB = a — вторая сторона

a^2

=d^2

-b^2

a^2

={26}^{2}

-{10}^{2}

=676

-100

=576

Пока получили квадрат длины a.

Находим длину стороны a

Извлекаем положительный квадратный корень.

AB = a — вторая сторона

a

=\sqrt{576}

=24

Длина не может быть отрицательной.

Вычисляем площадь прямоугольника

Умножаем две найденные стороны. Здесь не нужен множитель 1/2.

S

=24

\cdot10

=240

Получили площадь всего прямоугольника.

Проверяем диагональ и синус

Проверим теорему Пифагора и отношение катета к гипотенузе.

{24}^{2}

+{10}^{2}

=676

\frac{10}{26}

=\frac{10:2}{26:2}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 2.

=\frac{5}{13}

Оба равенства согласуются с данными задачи.

Записываем ответ

Мы нашли площадь. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

240

Ответ: 240.

Answer 2

Что нужно найти

Площадь прямоугольника по диаметру окружности и синусу

Answer 3

Идея решения

Диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности. Она делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. По синусу найдём один катет, по теореме Пифагора — второй, затем перемножим стороны.

Answer 4

Диаметр окружности d

26

Синус угла

\dfrac{5}{13}

Найти

площадь прямоугольника

Answer 5

Выделяем прямоугольный треугольник

Назовём вершины прямоугольника A, B, C, D. Пусть заданный угол α расположен между AB и диагональю AC. Тогда AC — гипотенуза, BC — противолежащий катет.

AC = d — диагональ
BC = b — напротив α
AB = a — вторая сторона

AC

=d,\quad AB

=a,\quad BC

=b

\sin\alpha

=\frac bd

Если в исходном рисунке выбран угол с другой стороной, роли a и b меняются, а их произведение остаётся тем же.

Answer 6

Почему это работает

Диагональ вписанного прямоугольника — диаметр. Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Answer 7

AC = d — диагональ

BC = b — напротив α

AB = a — вторая сторона

Answer 8

AC

=d,\quad AB

=a,\quad BC

=b

\sin\alpha

=\frac bd

Answer 9

AC

=d,\quad AB

Answer 10

=a,\quad BC

Answer 11

\sin\alpha

=\frac bd

Answer 12

Если в исходном рисунке выбран угол с другой стороной, роли a и b меняются, а их произведение остаётся тем же.

Answer 13

Диагональ AC — гипотенуза треугольника ABC и диаметр окружности

$Диагональ AC — гипотенуза треугольника ABC и диаметр окружности. Против угла α расположен катет BC.$

Обозначения на чертеже

AC = d — диагональ
BC = b — напротив α
AB = a — вторая сторона

Диагональ AC — гипотенуза треугольника ABC и диаметр окружности. Против угла α расположен катет BC.

Открыть схему крупнее ↗

Answer 14

$Диагональ AC — гипотенуза треугольника ABC и диаметр окружности. Против угла α расположен катет BC.$

Обозначения на чертеже

AC = d — диагональ
BC = b — напротив α
AB = a — вторая сторона

Answer 15

$Диагональ AC — гипотенуза треугольника ABC и диаметр окружности. Против угла α расположен катет BC.$

Answer 16

Обозначения на чертеже

AC = d — диагональ
BC = b — напротив α
AB = a — вторая сторона

Answer 17

Открыть схему крупнее ↗

Answer 18

Находим сторону по синусу

Умножаем обе части sin α = b/d на d.

BC = b — напротив α

b

=d\sin\alpha

b

=26

\cdot\frac{5}{13}

=\frac{26\cdot5}{13}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

=\frac{130}{13}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

=10

Нашли длину одной стороны прямоугольника.

Answer 19

BC = b — напротив α

Answer 20

b

=d\sin\alpha

b

=26

\cdot\frac{5}{13}

=\frac{26\cdot5}{13}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

=\frac{130}{13}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

=10

Answer 21

b

=d\sin\alpha

Answer 22

b

=26

\cdot\frac{5}{13}

Answer 23

=\frac{26\cdot5}{13}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

Answer 24

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

Answer 25

=\frac{130}{13}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

Answer 26

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

Answer 27

Нашли длину одной стороны прямоугольника.

Answer 28

Вычисляем квадрат другой стороны

Из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета.

BC = b — напротив α
AB = a — вторая сторона

a^2

=d^2

-b^2

a^2

={26}^{2}

-{10}^{2}

=676

-100

=576

Пока получили квадрат длины a.

Answer 29

BC = b — напротив α

AB = a — вторая сторона

Answer 30

a^2

=d^2

-b^2

a^2

={26}^{2}

-{10}^{2}

=676

-100

=576

Answer 31

a^2

=d^2

-b^2

Answer 32

a^2

={26}^{2}

-{10}^{2}

Answer 33

Пока получили квадрат длины a.

Answer 34

Находим длину стороны a

Извлекаем положительный квадратный корень.

AB = a — вторая сторона

a

=\sqrt{576}

=24

Длина не может быть отрицательной.

Answer 35

AB = a — вторая сторона

Answer 36

a

=\sqrt{576}

=24

Answer 37

a

=\sqrt{576}

Answer 38

Длина не может быть отрицательной.

Answer 39

Вычисляем площадь прямоугольника

Умножаем две найденные стороны. Здесь не нужен множитель 1/2.

S

=24

\cdot10

=240

Получили площадь всего прямоугольника.

Answer 40

S

=24

\cdot10

=240

Answer 41

S

=24

\cdot10

Answer 42

Получили площадь всего прямоугольника.

Answer 43

Проверяем диагональ и синус

Проверим теорему Пифагора и отношение катета к гипотенузе.

{24}^{2}

+{10}^{2}

=676

\frac{10}{26}

=\frac{10:2}{26:2}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 2.

=\frac{5}{13}

Оба равенства согласуются с данными задачи.

Answer 44

{24}^{2}

+{10}^{2}

=676

\frac{10}{26}

=\frac{10:2}{26:2}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 2.

=\frac{5}{13}

Answer 45

{24}^{2}

+{10}^{2}

=676

Answer 46

\frac{10}{26}

Answer 47

=\frac{10:2}{26:2}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 2.

Answer 48

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 2.

Answer 49

=\frac{5}{13}

Answer 50

Оба равенства согласуются с данными задачи.

Answer 51

Записываем ответ

Мы нашли площадь. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

240

Ответ: 240.

Answer 52

Ответ: 240.

Что проверяем	Результат
Искомая величина	Площадь прямоугольника по диаметру окружности и синусу
Ответ	$240$

Площадь прямоугольника по диаметру окружности и синусу

Разбираем шаг за шагом

Выделяем прямоугольный треугольник

Диагональ AC — гипотенуза треугольника ABC и диаметр окружности

Находим сторону по синусу

Вычисляем квадрат другой стороны

Находим длину стороны a

Вычисляем площадь прямоугольника

Проверяем диагональ и синус

Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Площадь прямоугольника по диаметру окружности и синусу

Разбираем шаг за шагом

1Выделяем прямоугольный треугольник

Диагональ AC — гипотенуза треугольника ABC и диаметр окружности

2Находим сторону по синусу

3Вычисляем квадрат другой стороны

4Находим длину стороны a

5Вычисляем площадь прямоугольника

6Проверяем диагональ и синус

7Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Выделяем прямоугольный треугольник

Находим сторону по синусу

Вычисляем квадрат другой стороны

Находим длину стороны a

Вычисляем площадь прямоугольника

Проверяем диагональ и синус

Записываем ответ