Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ 569EAC163 из 312

Площадь треугольника по периметру и вписанному радиусу

Рисунок из условия ФИПИ 569EAC

Периметр треугольника равен 120, одна из сторон равна 40,
а радиус вписанной в него окружности равен 7. Найдите площадь этого треугольника.

Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 569EAC.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 420.

Что нужно найти

Площадь треугольника по периметру и вписанному радиусу

Идея решения

Соединим центр вписанной окружности с вершинами. Получатся три треугольника, у которых высоты к сторонам исходного треугольника равны r. Сумма их площадей равна rP/2. Длина отдельной стороны здесь не требуется: весь периметр уже известен.

Периметр P
120120
Одна из сторон
4040
Вписанный радиус r
77
Найти
площадь S

Делим треугольник на три части

Соединим центр O с вершинами A, B, C. Перпендикулярные расстояния от O до всех трёх сторон равны радиусу r.

  • Расстояния до сторон равны r
  • AB + BC + CA = P
SAOBS_{AOB}=AB⋅r2=\frac{AB\cdot r}{2}
SBOCS_{BOC}=BC⋅r2=\frac{BC\cdot r}{2}
SCOAS_{COA}=CA⋅r2=\frac{CA\cdot r}{2}

Площади этих трёх частей в сумме дают площадь ABC.

Схема для вывода формулы, без соблюдения масштаба длин из условия

Схема для вывода формулы, без соблюдения масштаба длин из условия. Центр O соединён с вершинами; у каждой из трёх частей высота к соответствующей стороне равна r.
Обозначения на чертеже
  • Расстояния до сторон равны r
  • Складываем три площади
  • AB + BC + CA = P
Схема для вывода формулы, без соблюдения масштаба длин из условия. Центр O соединён с вершинами; у каждой из трёх частей высота к соответствующей стороне равна r.
Открыть схему крупнее ↗

Складываем площади

Вынесем общий множитель r/2. Сумма сторон AB + BC + CA равна периметру P.

  • Расстояния до сторон равны r
  • AB + BC + CA = P
SS=AB⋅r+BC⋅r+CA⋅r2=\frac{AB\cdot r+BC\cdot r+CA\cdot r}{2}
SS=r(AB+BC+CA)2=\frac{r(AB+BC+CA)}{2}
=rP2=\frac{rP}{2}
=rp=rp

Поэтому достаточно знать периметр и радиус; отдельная сторона не нужна.

Находим полупериметр

Делим периметр на 2.

pp=1202=\frac{120}{2}
=60=60

Полупериметр обозначается маленькой буквой p.

Вычисляем площадь

Умножаем радиус на полупериметр.

SS=7=7⋅60\cdot60
=420=420

Это площадь всего исходного треугольника.

Проверяем через периметр

Выразим P = 2S/r и сравним с данными.

  • Расстояния до сторон равны r
2⋅4207\frac{2\cdot420}{7}
=8407=\frac{840}{7}

Считаем числитель: 2⋅420=8402\cdot420=840.

=120=120

Совпало с условием. Значение найдено верно.

Записываем ответ

Мы нашли площадь. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

420420

Ответ: 420.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаПлощадь треугольника по периметру и вписанному радиусу
Ответ420420

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Запишите S = rp.
  2. Найдите полупериметр p = P/2.
  3. Умножьте его на r.
  4. Проверьте результат формулой 2S/r = P.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Полупериметр — половина периметра: p=P/2p=P/2.
  • Радиус в точку касания перпендикулярен стороне.
  • Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • В формуле S = rp нужна половина периметра, а не весь периметр.
  • Не используйте радиус как высоту всего исходного треугольника.
  • Данная длина отдельной стороны лишняя для этого способа: не требуется искать две другие стороны.
Все задания №16 (312)