Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ E7626A234 из 312

Катет треугольника по радиусу описанной окружности

Центр окружности, описанной около треугольника ABC , лежит на стороне AB . Радиус окружности равен 20,5. Найдите BC , если AC=9 .

Рисунок из условия ФИПИ E7626A

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание E7626A.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 40.

Что нужно найти

Катет треугольника по радиусу описанной окружности

Идея решения

Сторона AB проходит через центр окружности, значит, это диаметр 2R. Угол C прямой. Найдём неизвестный катет по теореме Пифагора: из квадрата гипотенузы вычтем квадрат известного катета.

Радиус R
20,520{,}5
Катет AC
99
Найти
BC

Находим гипотенузу

AB проходит через центр O, поэтому это диаметр. Угол ACB опирается на диаметр и равен 90°.

  • AB = 2R
ABAB=2R=2R

В треугольнике ABC гипотенуза — AB.

Центр O — середина гипотенузы AB

Центр O — середина гипотенузы AB. Прямой угол расположен при вершине C.
Обозначения на чертеже
  • AB = 2R
  • BC — искомый катет
  • AC известен
Центр O — середина гипотенузы AB. Прямой угол расположен при вершине C.
Открыть схему крупнее ↗

Вычисляем длину диаметра

Удваиваем радиус.

  • AB = 2R
ABAB=2=2⋅20,5\cdot20{,}5
=41=41

Теперь длина гипотенузы известна.

Выражаем квадрат неизвестного катета

Из равенства Пифагора переносим квадрат известного катета в другую часть с минусом.

  • AB = 2R
  • BC — искомый катет
  • AC известен
AB2AB^2=AC2=AC^2+BC2+BC^2
BC2BC^2=AB2=AB^2−AC2-AC^2

Вычитаем меньший квадрат из большего.

Считаем квадраты и их разность

Каждую длину сначала умножаем саму на себя, затем выполняем вычитание.

  • AB = 2R
  • BC — искомый катет
  • AC известен
AB2AB^2=412={41}^{2}
=41=41⋅41\cdot41
=1681=1681
AC2AC^2=92={9}^{2}
=9=9⋅9\cdot9
=81=81
BC2BC^2=1681=1681−81-81
=1600=1600

Пока получили квадрат нужной длины.

Извлекаем положительный корень

Длина положительна. Выбираем положительное число, квадрат которого получился на предыдущем шаге.

  • BC — искомый катет
BCBC=1600=\sqrt{1600}
=40=40

Проверим его по исходной теореме.

Проверяем катеты

Сумма квадратов двух катетов должна равняться квадрату диаметра.

402{40}^{2}+92+{9}^{2}=1681=1681

Совпало с условием. Значение найдено верно.

Записываем ответ

Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

4040

Ответ: 40.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаКатет треугольника по радиусу описанной окружности
Ответ4040

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Найдите диаметр AB = 2R.
  2. Объясните, почему угол C прямой.
  3. Вычислите квадрат AB и квадрат известного катета.
  4. Вычтите квадраты и извлеките положительный корень.
  5. Проверьте сумму квадратов двух катетов.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Диаметр равен двум радиусам.
  • Гипотенуза лежит напротив прямого угла.
  • AB2=AC2+BC2AB^2=AC^2+BC^2 — теорема Пифагора для этой задачи.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Гипотенуза равна 2R, а не R.
  • Для поиска катета квадраты вычитают; для гипотенузы — складывают.
  • После нахождения квадрата катета нужно извлечь корень.
Все задания №16 (312)