ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 3 · ФИПИ 14EF595 из 72
Антоновка — Богданово: расстояние по прямой
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 15.
На рисунке изображён план сельской местности.
Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновка (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горюново по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюново до Богданово по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово.
Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.
По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Егорки 4 км, от Егорки до Ванютино 12 км, от Горюново до Ванютино 15 км, от Ванютино до Жилино 9 км, а от Жилино до Богданово 12 км.
3
Найдите расстояние от Антоновки до Богданово по прямой. Ответ дайте в километрах.
Сначала выделим нужные данные, затем разберём каждый шаг и проверим результат.
Что нужно найти
Найти расстояние по прямой между пунктами Антоновка и Богданово.
Начальная точка
Антоновка — 1
Поворот шоссе
Ванютино — 4
Конечная точка
Богданово — 7
Данные о расстояниях
Длины участков указаны в тексте
1. Разбираемся, какое расстояние требуется
Вопрос просит расстояние между пунктами Антоновка и Богданово по прямой. На плане это отрезок 1–7.
Путь через поворот 4 состоит из двух участков и длиннее прямого отрезка. Сумма их длин не будет ответом на этот вопрос.
2. Находим три опорные точки
Ванютино — точка 4, в которой шоссе поворачивает под прямым углом. На концах нужных участков находятся Антоновка (1) и Богданово (7).
Прослеживаем стороны треугольника: 1–4, 4–7 и 1–7. Названия сверяем с общим описанием, прежде чем считать расстояния.
3. Различаем катеты и гипотенузу
Угол в точке 4 прямой, то есть равен 90°. Две стороны, образующие этот угол, называются катетами: это 1–4 и 4–7.
Сторона напротив прямого угла — гипотенуза 1–7. Её длину и нужно найти. Для прямоугольного треугольника подходит теорема Пифагора.
Находим прямоугольный треугольник на плане
Выделены только три нужные стороны. Два шоссе образуют прямой угол; прямая дорога лежит напротив него. Номера точек исходной схемы сохранены.Открыть схему крупнее ↗
4. Находим первый катет по тексту
От Егорки до Ванютино 12 км, от Егорки до Доломино 4 км. Значит, Доломино — Ванютино: 12 − 4 = 8 км.
От Антоновки до Доломино 12 км. Получаем Антоновка — Ванютино: 12 + 8 = 20 км. Это первый катет 1–4.
5. Находим второй катет по тексту
Ванютино 4 → Жилино 5 → Богданово 7 лежат на одном шоссе. От Ванютино до Жилино 9 км, от Жилино до Богданово 12 км. Значит, второй катет 4–7: 9 + 12 = 21 км.
Теперь известны оба катета: 20 км и 21 км. Для этой схемы берём расстояния из условия; измерять картинку линейкой не нужно.
Проверяем катеты и вычисляем гипотенузу
Вспомогательный прямоугольный треугольник повторяет связи исходной карты. Расположение здесь условное; длины катетов найдены по тексту, а не измерением картинки.Открыть схему крупнее ↗
6. Записываем теорему Пифагора
Для прямоугольного треугольника c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты. Квадрат числа означает произведение числа на само себя.
Подставляем найденные длины: c² = 20² + 21².
7. Вычисляем квадраты и складываем
20² = 20 × 20 = 400. 21² = 21 × 21 = 441.
Значит, c² = 400 + 441 = 841. Пока получили квадрат длины, а не саму длину.
8. Извлекаем квадратный корень
Нужно найти положительное число, квадрат которого равен 841. Так как 29 × 29 = 841, получаем c = √841 = 29 км.
Длина не бывает отрицательной, поэтому берём положительное значение корня.
9. Проверяем здравый смысл и вычисления
Гипотенуза 29 км больше каждого катета (20 км и 21 км), но меньше пути по двум катетам: 20 + 21 = 41 км.
