ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 3 · ФИПИ BD700B53 из 72
Калиновка — Ольгино: расстояние по прямой
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.
Ваня летом отдыхает у дедушки в деревне Дивная. В пятницу они собираются съездить на велосипедах в село Ольгино в библиотеку. Из деревни Дивная в село Ольгино можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Калиновка до села Ровное, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Ольгино. Есть и третий маршрут: в деревне Калиновка можно свернуть на прямую тропинку в село Ольгино, которая идёт мимо пруда.
Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Ваня с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 1 км.
3
Найдите расстояние от деревни Калиновка до села Ольгино по прямой. Ответ дайте в километрах.
Сначала выделим нужные данные, затем разберём каждый шаг и проверим результат.
Что нужно найти
Найти расстояние по прямой между пунктами Калиновка и Ольгино.
Начальная точка
Калиновка — 2
Поворот шоссе
Ровное — 3
Конечная точка
Ольгино — 4
Данные о расстояниях
1 км на одну клетку
1. Разбираемся, какое расстояние требуется
Вопрос просит расстояние между пунктами Калиновка и Ольгино по прямой. На плане это отрезок 2–4.
Путь через поворот 3 состоит из двух участков и длиннее прямого отрезка. Сумма их длин не будет ответом на этот вопрос.
2. Находим три опорные точки
Ровное — точка 3, в которой шоссе поворачивает под прямым углом. На концах нужных участков находятся Калиновка (2) и Ольгино (4).
Прослеживаем стороны треугольника: 2–3, 3–4 и 2–4. Названия сверяем с общим описанием, прежде чем считать расстояния.
3. Различаем катеты и гипотенузу
Угол в точке 3 прямой, то есть равен 90°. Две стороны, образующие этот угол, называются катетами: это 2–3 и 3–4.
Сторона напротив прямого угла — гипотенуза 2–4. Её длину и нужно найти. Для прямоугольного треугольника подходит теорема Пифагора.
Находим прямоугольный треугольник на плане
Выделены только три нужные стороны. Два шоссе образуют прямой угол; прямая дорога лежит напротив него. Номера точек исходной схемы сохранены.Открыть схему крупнее ↗
4. Считаем клеточные промежутки
По стороне 2–3 насчитываем 20 промежутков между соседними линиями сетки. По стороне 3–4 — 21 промежутков.
Считаем клетки вдоль каждой стороны, а не линии сетки: у отрезка из 20 клеток граничных линий на одну больше. На поясняющих полосках промежутки пронумерованы.
5. Учитываем масштаб плана
Одна клетка соответствует 1 км. Первый катет: 20 × 1 = 20 км. Второй катет: 21 × 1 = 21 км.
Масштаб относится к длинам. Оба катета уже выражены в километрах, поэтому дальше работаем с этими числами.
Проверяем катеты и вычисляем гипотенузу
Полоски выпрямляют два катета исходной схемы. Каждый квадрат — один промежуток сетки, цифры помогают проверить подсчёт. Длины умножаются на масштаб до применения теоремы Пифагора.Открыть схему крупнее ↗
6. Записываем теорему Пифагора
Для прямоугольного треугольника c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты. Квадрат числа означает произведение числа на само себя.
Подставляем найденные длины: c² = 20² + 21².
7. Вычисляем квадраты и складываем
20² = 20 × 20 = 400. 21² = 21 × 21 = 441.
Значит, c² = 400 + 441 = 841. Пока получили квадрат длины, а не саму длину.
8. Извлекаем квадратный корень
Нужно найти положительное число, квадрат которого равен 841. Так как 29 × 29 = 841, получаем c = √841 = 29 км.
Длина не бывает отрицательной, поэтому берём положительное значение корня.
9. Проверяем здравый смысл и вычисления
Гипотенуза 29 км больше каждого катета (20 км и 21 км), но меньше пути по двум катетам: 20 + 21 = 41 км.
