ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 3 · ФИПИ E7F5C063 из 72
Куровка — Вятское: расстояние по прямой
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 15.
Никита и папа летом живут в деревне Лягушкино. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Вятское в спортивный магазин. Из деревни Лягушкино в село Вятское можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Куровка до деревни Марусино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в село Вятское. Есть и третий маршрут: в деревне Куровка можно свернуть на прямую тропинку в село Вятское, которая идёт мимо пруда.
Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Никита с папой едут со скоростью 25 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке со скоростью 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 1 км.
3
Найдите расстояние от деревни Куровка до села Вятское по прямой. Ответ дайте в километрах.
Сначала выделим нужные данные, затем разберём каждый шаг и проверим результат.
Что нужно найти
Найти расстояние по прямой между пунктами Куровка и Вятское.
Начальная точка
Куровка — 1
Поворот шоссе
Марусино — 3
Конечная точка
Вятское — 2
Данные о расстояниях
1 км на одну клетку
1. Разбираемся, какое расстояние требуется
Вопрос просит расстояние между пунктами Куровка и Вятское по прямой. На плане это отрезок 1–2.
Путь через поворот 3 состоит из двух участков и длиннее прямого отрезка. Сумма их длин не будет ответом на этот вопрос.
2. Находим три опорные точки
Марусино — точка 3, в которой шоссе поворачивает под прямым углом. На концах нужных участков находятся Куровка (1) и Вятское (2).
Прослеживаем стороны треугольника: 1–3, 3–2 и 1–2. Названия сверяем с общим описанием, прежде чем считать расстояния.
3. Различаем катеты и гипотенузу
Угол в точке 3 прямой, то есть равен 90°. Две стороны, образующие этот угол, называются катетами: это 1–3 и 3–2.
Сторона напротив прямого угла — гипотенуза 1–2. Её длину и нужно найти. Для прямоугольного треугольника подходит теорема Пифагора.
Находим прямоугольный треугольник на плане
Выделены только три нужные стороны. Два шоссе образуют прямой угол; прямая дорога лежит напротив него. Номера точек исходной схемы сохранены.Открыть схему крупнее ↗
4. Считаем клеточные промежутки
По стороне 1–3 насчитываем 6 промежутков между соседними линиями сетки. По стороне 3–2 — 8 промежутков.
Считаем клетки вдоль каждой стороны, а не линии сетки: у отрезка из 6 клеток граничных линий на одну больше. На поясняющих полосках промежутки пронумерованы.
5. Учитываем масштаб плана
Одна клетка соответствует 1 км. Первый катет: 6 × 1 = 6 км. Второй катет: 8 × 1 = 8 км.
Масштаб относится к длинам. Оба катета уже выражены в километрах, поэтому дальше работаем с этими числами.
Проверяем катеты и вычисляем гипотенузу
Полоски выпрямляют два катета исходной схемы. Каждый квадрат — один промежуток сетки, цифры помогают проверить подсчёт. Длины умножаются на масштаб до применения теоремы Пифагора.Открыть схему крупнее ↗
6. Записываем теорему Пифагора
Для прямоугольного треугольника c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты. Квадрат числа означает произведение числа на само себя.
Подставляем найденные длины: c² = 6² + 8².
7. Вычисляем квадраты и складываем
6² = 6 × 6 = 36. 8² = 8 × 8 = 64.
Значит, c² = 36 + 64 = 100. Пока получили квадрат длины, а не саму длину.
8. Извлекаем квадратный корень
Нужно найти положительное число, квадрат которого равен 100. Так как 10 × 10 = 100, получаем c = √100 = 10 км.
Длина не бывает отрицательной, поэтому берём положительное значение корня.
9. Проверяем здравый смысл и вычисления
Гипотенуза 10 км больше каждого катета (6 км и 8 км), но меньше пути по двум катетам: 6 + 8 = 14 км.
