ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 3 · ФИПИ 9D29EC59 из 72
Васильевка — Плодородное: расстояние по прямой
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 15.
Дима летом отдыхает у дедушки в деревне Васильевка. Во вторник они собираются съездить на велосипедах в село Плодородное на ярмарку. Из деревни Васильевка в село Плодородное можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Шарковка до деревни Рассвет, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Плодородное. Есть и третий маршрут: в деревне Шарковка можно свернуть на прямую тропинку в село Плодородное, которая идёт мимо пруда.
Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Дима с дедушкой едут со скоростью 25 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке со скоростью 18 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 3 км.
3
Найдите расстояние от деревни Васильевка до села Плодородное по прямой. Ответ дайте в километрах.
Сначала выделим нужные данные, затем разберём каждый шаг и проверим результат.
Что нужно найти
Найти расстояние по прямой между пунктами Васильевка и Плодородное.
Начальная точка
Васильевка — 2
Поворот шоссе
Рассвет — 4
Конечная точка
Плодородное — 1
Данные о расстояниях
3 км на одну клетку
1. Разбираемся, какое расстояние требуется
Вопрос просит расстояние между пунктами Васильевка и Плодородное по прямой. На плане это отрезок 2–1.
Путь через поворот 4 состоит из двух участков и длиннее прямого отрезка. Сумма их длин не будет ответом на этот вопрос.
2. Находим три опорные точки
Рассвет — точка 4, в которой шоссе поворачивает под прямым углом. На концах нужных участков находятся Васильевка (2) и Плодородное (1).
Прослеживаем стороны треугольника: 2–4, 4–1 и 2–1. Названия сверяем с общим описанием, прежде чем считать расстояния.
3. Различаем катеты и гипотенузу
Угол в точке 4 прямой, то есть равен 90°. Две стороны, образующие этот угол, называются катетами: это 2–4 и 4–1.
Сторона напротив прямого угла — гипотенуза 2–1. Её длину и нужно найти. Для прямоугольного треугольника подходит теорема Пифагора.
Находим прямоугольный треугольник на плане
Выделены только три нужные стороны. Два шоссе образуют прямой угол; прямая дорога лежит напротив него. Номера точек исходной схемы сохранены.Открыть схему крупнее ↗
4. Считаем клеточные промежутки
По стороне 2–4 насчитываем 9 промежутков между соседними линиями сетки. По стороне 4–1 — 12 промежутков.
Считаем клетки вдоль каждой стороны, а не линии сетки: у отрезка из 9 клеток граничных линий на одну больше. На поясняющих полосках промежутки пронумерованы.
5. Учитываем масштаб плана
Одна клетка соответствует 3 км. Первый катет: 9 × 3 = 27 км. Второй катет: 12 × 3 = 36 км.
Масштаб относится к длинам. Оба катета уже выражены в километрах, поэтому дальше работаем с этими числами.
Проверяем катеты и вычисляем гипотенузу
Полоски выпрямляют два катета исходной схемы. Каждый квадрат — один промежуток сетки, цифры помогают проверить подсчёт. Длины умножаются на масштаб до применения теоремы Пифагора.Открыть схему крупнее ↗
6. Записываем теорему Пифагора
Для прямоугольного треугольника c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты. Квадрат числа означает произведение числа на само себя.
Подставляем найденные длины: c² = 27² + 36².
7. Вычисляем квадраты и складываем
27² = 27 × 27 = 729. 36² = 36 × 36 = 1296.
Значит, c² = 729 + 1296 = 2025. Пока получили квадрат длины, а не саму длину.
8. Извлекаем квадратный корень
Нужно найти положительное число, квадрат которого равен 2025. Так как 45 × 45 = 2025, получаем c = √2025 = 45 км.
Длина не бывает отрицательной, поэтому берём положительное значение корня.
9. Проверяем здравый смысл и вычисления
Гипотенуза 45 км больше каждого катета (27 км и 36 км), но меньше пути по двум катетам: 27 + 36 = 63 км.
