ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 3 · ФИПИ C8C2FC15 из 72

Ширина листа А4: округление до десятков миллиметров

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника площадью 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получатся два одинаковых листа формата А1. Если лист А1 разрезать пополам таким же образом, получатся два листа формата А2 и т.д.

$Схема и данные к практическим задачам ФИПИ$

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это нужно, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при изменении формата листа.

Найдите ширину листа бумаги формата А4. Ответ дайте в миллиметрах
и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Условие и рисунки: открытый банк ФИПИ, задание C8C2FC.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 210.

Сначала выделим нужные данные, затем разберём каждый шаг и проверим результат.

Что нужно найти

Найти ширину листа А4 и округлить её до ближайшего числа миллиметров, кратного 10.

Площадь А0: 1 м² = 1 000 000 мм²
Нужный формат: А4
Пропорции листов: Все прямоугольники подобны
Округление: До ближайших 10 мм

1. Обозначаем ширину и длину

Пусть x — меньшая сторона листа, то есть ширина, а y — большая сторона, то есть длина. Обе будем измерять в миллиметрах.

Из площади одной величины недостаточно, чтобы найти стороны произвольного прямоугольника. Здесь помогает ещё одно условие: все форматы серии А подобны.

2. Находим площадь нужного формата

1 м² = 1000 × 1000 = 1 000 000 мм². От А0 до А4 площадь делится пополам 4 раза: S = 1 000 000 : 16 = 62500 мм².

При переводе квадратных единиц длина переводится по обеим сторонам квадрата.

3. Используем подобие целого и половины листа

Разрезаем лист пополам параллельно меньшей стороне. У половины стороны x и y/2. После поворота её большая сторона — x, меньшая — y/2.

Отношение большей стороны к меньшей сохраняется: y/x = x/(y/2). На схеме показано, какие стороны сопоставляются.

Разбираем правило форматов бумаги. Слева целый лист со сторонами x и y. Справа его половина после поворота: стороны y/2 и x. Пропорции одинаковы, поэтому можно составить равенство отношений. Размеры на схеме условные. — Слева целый лист со сторонами x и y. Справа его половина после поворота: стороны y/2 и x. Пропорции одинаковы, поэтому можно составить равенство отношений. Размеры на схеме условные.

4. Получаем отношение длины к ширине

Умножаем обе части равенства y/x = x/(y/2) на x × y/2: получаем y²/2 = x², то есть y² = 2x².

Так как длины положительны, y = x√2. Длина листа примерно в 1,414 раза больше ширины.

5. Связываем площадь с шириной

Площадь прямоугольника S = x × y. Подставляем y = x√2: S = x × x√2 = x²√2.

Делим на √2: x² = S/√2. Затем извлекаем положительный корень: x = √(S/√2).

6. Подставляем площадь и вычисляем ширину

x = √(62500/√2) ≈ 210,224 мм.

Промежуточные вычисления выполняем с достаточной точностью. Не округляем √2 до целого и не округляем стороны раньше последнего шага.

7. Округляем до ближайших десятков миллиметров

Число 210,224 находится между 210 и 220 мм. До 210 оно ближе, поэтому получаем 210 мм.

Округление до числа, кратного 10, означает, что результат заканчивается на 0. Это обычное округление к ближайшему десятку, а не обязательное округление вверх.

8. Проверяем округление и величину

210,224 лежит между 205 и 215, поэтому при округлении до десятков действительно получается 210.

Мы нашли меньшую сторону x. Большая сторона y = x√2 до округления больше x, как и должно быть у листа.

9. Записываем ответ

Ширина листа А4 после требуемого округления — 210 мм.

В поле ответа вводим 210, без обозначения «мм».

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Площадь	62500 мм²
Отношение длины к ширине	√2
Ширина до округления	≈ 210,224 мм
После округления	210 мм

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Найдите площадь нужного формата в мм².
Из подобия получите: длина = ширина × √2.
Вычислите ширину x = √(S/√2).
В конце округлите до ближайших 10 мм.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Правила чтения данных и записи ответа

У всех форматов серии А отношение большей стороны к меньшей равно √2.
Площадь Аn равна 1/2ⁿ м².
1 м² = 1 000 000 мм².
Число, кратное 10, заканчивается на 0; для округления выбирают ближайшее такое число.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не считайте лист квадратом: его стороны не равны.
Не подменяйте ширину большей стороной.
Не округляйте промежуточные величины слишком рано и не округляйте ширину до обычного целого вместо десятков.

Все 72 задания №3