ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 3 · ФИПИ 0E979A32 из 72
Сосенки — Кленовое: расстояние по прямой
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 15.
Володя летом отдыхает у дедушки в деревне Ёлочки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кленовое. Из деревни Ёлочки в село Кленовое можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Сосенки до деревни Жуки, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Кленовое. Есть и третий маршрут: в деревне Сосенки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Кленовое, которая идёт мимо пруда.
Шоссе и грунтовые дороги образуют прямоугольные треугольники.
По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге со скоростью 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 4 км.
3
Найдите расстояние от деревни Сосенки до села Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.
Сначала выделим нужные данные, затем разберём каждый шаг и проверим результат.
Что нужно найти
Найти расстояние по прямой между пунктами Сосенки и Кленовое.
Начальная точка
Сосенки — 3
Поворот шоссе
Жуки — 1
Конечная точка
Кленовое — 2
Данные о расстояниях
4 км на одну клетку
1. Разбираемся, какое расстояние требуется
Вопрос просит расстояние между пунктами Сосенки и Кленовое по прямой. На плане это отрезок 3–2.
Путь через поворот 1 состоит из двух участков и длиннее прямого отрезка. Сумма их длин не будет ответом на этот вопрос.
2. Находим три опорные точки
Жуки — точка 1, в которой шоссе поворачивает под прямым углом. На концах нужных участков находятся Сосенки (3) и Кленовое (2).
Прослеживаем стороны треугольника: 3–1, 1–2 и 3–2. Названия сверяем с общим описанием, прежде чем считать расстояния.
3. Различаем катеты и гипотенузу
Угол в точке 1 прямой, то есть равен 90°. Две стороны, образующие этот угол, называются катетами: это 3–1 и 1–2.
Сторона напротив прямого угла — гипотенуза 3–2. Её длину и нужно найти. Для прямоугольного треугольника подходит теорема Пифагора.
Находим прямоугольный треугольник на плане
Выделены только три нужные стороны. Два шоссе образуют прямой угол; прямая дорога лежит напротив него. Номера точек исходной схемы сохранены.Открыть схему крупнее ↗
4. Считаем клеточные промежутки
По стороне 3–1 насчитываем 6 промежутков между соседними линиями сетки. По стороне 1–2 — 8 промежутков.
Считаем клетки вдоль каждой стороны, а не линии сетки: у отрезка из 6 клеток граничных линий на одну больше. На поясняющих полосках промежутки пронумерованы.
5. Учитываем масштаб плана
Одна клетка соответствует 4 км. Первый катет: 6 × 4 = 24 км. Второй катет: 8 × 4 = 32 км.
Масштаб относится к длинам. Оба катета уже выражены в километрах, поэтому дальше работаем с этими числами.
Проверяем катеты и вычисляем гипотенузу
Полоски выпрямляют два катета исходной схемы. Каждый квадрат — один промежуток сетки, цифры помогают проверить подсчёт. Длины умножаются на масштаб до применения теоремы Пифагора.Открыть схему крупнее ↗
6. Записываем теорему Пифагора
Для прямоугольного треугольника c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты. Квадрат числа означает произведение числа на само себя.
Подставляем найденные длины: c² = 24² + 32².
7. Вычисляем квадраты и складываем
24² = 24 × 24 = 576. 32² = 32 × 32 = 1024.
Значит, c² = 576 + 1024 = 1600. Пока получили квадрат длины, а не саму длину.
8. Извлекаем квадратный корень
Нужно найти положительное число, квадрат которого равен 1600. Так как 40 × 40 = 1600, получаем c = √1600 = 40 км.
Длина не бывает отрицательной, поэтому берём положительное значение корня.
9. Проверяем здравый смысл и вычисления
Гипотенуза 40 км больше каждого катета (24 км и 32 км), но меньше пути по двум катетам: 24 + 32 = 56 км.
