ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 3 · ФИПИ 5B87BC65 из 72
Пирожки — Княжеское: расстояние по прямой
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 15.
Серёжа летом отдыхает с папой в деревне Пирожки. В среду они собираются съездить на машине в село Княжеское. Из деревни Пирожки в село Княжеское можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Васильево до деревни Рябиновка, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в село Княжеское. Есть и третий маршрут: в деревне Васильево можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Княжеское, которая идёт мимо пруда.
Шоссе и грунтовые дороги образуют прямоугольные треугольники.
По шоссе Серёжа с папой едут со скоростью 60 км/ч, а по грунтовой дороге со скоростью 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 2 км.
3
Найдите расстояние от деревни Пирожки до села Княжеское по прямой. Ответ дайте в километрах.
Сначала выделим нужные данные, затем разберём каждый шаг и проверим результат.
Что нужно найти
Найти расстояние по прямой между пунктами Пирожки и Княжеское.
Начальная точка
Пирожки — 4
Поворот шоссе
Рябиновка — 3
Конечная точка
Княжеское — 2
Данные о расстояниях
2 км на одну клетку
1. Разбираемся, какое расстояние требуется
Вопрос просит расстояние между пунктами Пирожки и Княжеское по прямой. На плане это отрезок 4–2.
Путь через поворот 3 состоит из двух участков и длиннее прямого отрезка. Сумма их длин не будет ответом на этот вопрос.
2. Находим три опорные точки
Рябиновка — точка 3, в которой шоссе поворачивает под прямым углом. На концах нужных участков находятся Пирожки (4) и Княжеское (2).
Прослеживаем стороны треугольника: 4–3, 3–2 и 4–2. Названия сверяем с общим описанием, прежде чем считать расстояния.
3. Различаем катеты и гипотенузу
Угол в точке 3 прямой, то есть равен 90°. Две стороны, образующие этот угол, называются катетами: это 4–3 и 3–2.
Сторона напротив прямого угла — гипотенуза 4–2. Её длину и нужно найти. Для прямоугольного треугольника подходит теорема Пифагора.
Находим прямоугольный треугольник на плане
Выделены только три нужные стороны. Два шоссе образуют прямой угол; прямая дорога лежит напротив него. Номера точек исходной схемы сохранены.Открыть схему крупнее ↗
4. Считаем клеточные промежутки
По стороне 4–3 насчитываем 15 промежутков между соседними линиями сетки. По стороне 3–2 — 8 промежутков.
Считаем клетки вдоль каждой стороны, а не линии сетки: у отрезка из 15 клеток граничных линий на одну больше. На поясняющих полосках промежутки пронумерованы.
5. Учитываем масштаб плана
Одна клетка соответствует 2 км. Первый катет: 15 × 2 = 30 км. Второй катет: 8 × 2 = 16 км.
Масштаб относится к длинам. Оба катета уже выражены в километрах, поэтому дальше работаем с этими числами.
Проверяем катеты и вычисляем гипотенузу
Полоски выпрямляют два катета исходной схемы. Каждый квадрат — один промежуток сетки, цифры помогают проверить подсчёт. Длины умножаются на масштаб до применения теоремы Пифагора.Открыть схему крупнее ↗
6. Записываем теорему Пифагора
Для прямоугольного треугольника c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты. Квадрат числа означает произведение числа на само себя.
Подставляем найденные длины: c² = 30² + 16².
7. Вычисляем квадраты и складываем
30² = 30 × 30 = 900. 16² = 16 × 16 = 256.
Значит, c² = 900 + 256 = 1156. Пока получили квадрат длины, а не саму длину.
8. Извлекаем квадратный корень
Нужно найти положительное число, квадрат которого равен 1156. Так как 34 × 34 = 1156, получаем c = √1156 = 34 км.
Длина не бывает отрицательной, поэтому берём положительное значение корня.
9. Проверяем здравый смысл и вычисления
Гипотенуза 34 км больше каждого катета (30 км и 16 км), но меньше пути по двум катетам: 30 + 16 = 46 км.
