ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 3 · ФИПИ C9FB8A22 из 72
Таловка — Абрамово: расстояние по прямой
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.
Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревне Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда.
Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 2 км.
3
Найдите расстояние от деревни Таловка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.
Сначала выделим нужные данные, затем разберём каждый шаг и проверим результат.
Что нужно найти
Найти расстояние по прямой между пунктами Таловка и Абрамово.
Начальная точка
Таловка — 2
Поворот шоссе
Новая — 1
Конечная точка
Абрамово — 4
Данные о расстояниях
2 км на одну клетку
1. Разбираемся, какое расстояние требуется
Вопрос просит расстояние между пунктами Таловка и Абрамово по прямой. На плане это отрезок 2–4.
Путь через поворот 1 состоит из двух участков и длиннее прямого отрезка. Сумма их длин не будет ответом на этот вопрос.
2. Находим три опорные точки
Новая — точка 1, в которой шоссе поворачивает под прямым углом. На концах нужных участков находятся Таловка (2) и Абрамово (4).
Прослеживаем стороны треугольника: 2–1, 1–4 и 2–4. Названия сверяем с общим описанием, прежде чем считать расстояния.
3. Различаем катеты и гипотенузу
Угол в точке 1 прямой, то есть равен 90°. Две стороны, образующие этот угол, называются катетами: это 2–1 и 1–4.
Сторона напротив прямого угла — гипотенуза 2–4. Её длину и нужно найти. Для прямоугольного треугольника подходит теорема Пифагора.
Находим прямоугольный треугольник на плане
Выделены только три нужные стороны. Два шоссе образуют прямой угол; прямая дорога лежит напротив него. Номера точек исходной схемы сохранены.Открыть схему крупнее ↗
4. Считаем клеточные промежутки
По стороне 2–1 насчитываем 5 промежутков между соседними линиями сетки. По стороне 1–4 — 12 промежутков.
Считаем клетки вдоль каждой стороны, а не линии сетки: у отрезка из 5 клеток граничных линий на одну больше. На поясняющих полосках промежутки пронумерованы.
5. Учитываем масштаб плана
Одна клетка соответствует 2 км. Первый катет: 5 × 2 = 10 км. Второй катет: 12 × 2 = 24 км.
Масштаб относится к длинам. Оба катета уже выражены в километрах, поэтому дальше работаем с этими числами.
Проверяем катеты и вычисляем гипотенузу
Полоски выпрямляют два катета исходной схемы. Каждый квадрат — один промежуток сетки, цифры помогают проверить подсчёт. Длины умножаются на масштаб до применения теоремы Пифагора.Открыть схему крупнее ↗
6. Записываем теорему Пифагора
Для прямоугольного треугольника c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты. Квадрат числа означает произведение числа на само себя.
Подставляем найденные длины: c² = 10² + 24².
7. Вычисляем квадраты и складываем
10² = 10 × 10 = 100. 24² = 24 × 24 = 576.
Значит, c² = 100 + 576 = 676. Пока получили квадрат длины, а не саму длину.
8. Извлекаем квадратный корень
Нужно найти положительное число, квадрат которого равен 676. Так как 26 × 26 = 676, получаем c = √676 = 26 км.
Длина не бывает отрицательной, поэтому берём положительное значение корня.
9. Проверяем здравый смысл и вычисления
Гипотенуза 26 км больше каждого катета (10 км и 24 км), но меньше пути по двум катетам: 10 + 24 = 34 км.
