ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 3 · ФИПИ F5292D50 из 72
Васильково — Иваново: расстояние по прямой
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.
Саша летом отдыхает у дедушки в деревне Васильково. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Иваново в магазин. Из деревни Васильково в село Иваново можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Камышино до деревни Журавушка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Иваново. Есть и третий маршрут: в деревне Камышино можно свернуть на прямую тропинку в село Иваново, которая идёт мимо пруда.
Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Саша с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 1 км.
3
Найдите расстояние от деревни Васильково до села Иваново по прямой. Ответ дайте в километрах.
Сначала выделим нужные данные, затем разберём каждый шаг и проверим результат.
Что нужно найти
Найти расстояние по прямой между пунктами Васильково и Иваново.
Начальная точка
Васильково — 4
Поворот шоссе
Журавушка — 1
Конечная точка
Иваново — 2
Данные о расстояниях
1 км на одну клетку
1. Разбираемся, какое расстояние требуется
Вопрос просит расстояние между пунктами Васильково и Иваново по прямой. На плане это отрезок 4–2.
Путь через поворот 1 состоит из двух участков и длиннее прямого отрезка. Сумма их длин не будет ответом на этот вопрос.
2. Находим три опорные точки
Журавушка — точка 1, в которой шоссе поворачивает под прямым углом. На концах нужных участков находятся Васильково (4) и Иваново (2).
Прослеживаем стороны треугольника: 4–1, 1–2 и 4–2. Названия сверяем с общим описанием, прежде чем считать расстояния.
3. Различаем катеты и гипотенузу
Угол в точке 1 прямой, то есть равен 90°. Две стороны, образующие этот угол, называются катетами: это 4–1 и 1–2.
Сторона напротив прямого угла — гипотенуза 4–2. Её длину и нужно найти. Для прямоугольного треугольника подходит теорема Пифагора.
Находим прямоугольный треугольник на плане
Выделены только три нужные стороны. Два шоссе образуют прямой угол; прямая дорога лежит напротив него. Номера точек исходной схемы сохранены.Открыть схему крупнее ↗
4. Считаем клеточные промежутки
По стороне 4–1 насчитываем 16 промежутков между соседними линиями сетки. По стороне 1–2 — 12 промежутков.
Считаем клетки вдоль каждой стороны, а не линии сетки: у отрезка из 16 клеток граничных линий на одну больше. На поясняющих полосках промежутки пронумерованы.
5. Учитываем масштаб плана
Одна клетка соответствует 1 км. Первый катет: 16 × 1 = 16 км. Второй катет: 12 × 1 = 12 км.
Масштаб относится к длинам. Оба катета уже выражены в километрах, поэтому дальше работаем с этими числами.
Проверяем катеты и вычисляем гипотенузу
Полоски выпрямляют два катета исходной схемы. Каждый квадрат — один промежуток сетки, цифры помогают проверить подсчёт. Длины умножаются на масштаб до применения теоремы Пифагора.Открыть схему крупнее ↗
6. Записываем теорему Пифагора
Для прямоугольного треугольника c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты. Квадрат числа означает произведение числа на само себя.
Подставляем найденные длины: c² = 16² + 12².
7. Вычисляем квадраты и складываем
16² = 16 × 16 = 256. 12² = 12 × 12 = 144.
Значит, c² = 256 + 144 = 400. Пока получили квадрат длины, а не саму длину.
8. Извлекаем квадратный корень
Нужно найти положительное число, квадрат которого равен 400. Так как 20 × 20 = 400, получаем c = √400 = 20 км.
Длина не бывает отрицательной, поэтому берём положительное значение корня.
9. Проверяем здравый смысл и вычисления
Гипотенуза 20 км больше каждого катета (16 км и 12 км), но меньше пути по двум катетам: 16 + 12 = 28 км.
