ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 3 · ФИПИ 90795462 из 72
Лягушкино — Вятское: расстояние по прямой
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 15.
Никита и папа летом живут в деревне Лягушкино. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Вятское в спортивный магазин. Из деревни Лягушкино в село Вятское можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Куровка до деревни Марусино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в село Вятское. Есть и третий маршрут: в деревне Куровка можно свернуть на прямую тропинку в село Вятское, которая идёт мимо пруда.
Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Никита с папой едут со скоростью 25 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке со скоростью 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 1 км.
3
Найдите расстояние от деревни Лягушкино до села Вятское по прямой. Ответ дайте в километрах.
Сначала выделим нужные данные, затем разберём каждый шаг и проверим результат.
Что нужно найти
Найти расстояние по прямой между пунктами Лягушкино и Вятское.
Начальная точка
Лягушкино — 4
Поворот шоссе
Марусино — 3
Конечная точка
Вятское — 2
Данные о расстояниях
1 км на одну клетку
1. Разбираемся, какое расстояние требуется
Вопрос просит расстояние между пунктами Лягушкино и Вятское по прямой. На плане это отрезок 4–2.
Путь через поворот 3 состоит из двух участков и длиннее прямого отрезка. Сумма их длин не будет ответом на этот вопрос.
2. Находим три опорные точки
Марусино — точка 3, в которой шоссе поворачивает под прямым углом. На концах нужных участков находятся Лягушкино (4) и Вятское (2).
Прослеживаем стороны треугольника: 4–3, 3–2 и 4–2. Названия сверяем с общим описанием, прежде чем считать расстояния.
3. Различаем катеты и гипотенузу
Угол в точке 3 прямой, то есть равен 90°. Две стороны, образующие этот угол, называются катетами: это 4–3 и 3–2.
Сторона напротив прямого угла — гипотенуза 4–2. Её длину и нужно найти. Для прямоугольного треугольника подходит теорема Пифагора.
Находим прямоугольный треугольник на плане
Выделены только три нужные стороны. Два шоссе образуют прямой угол; прямая дорога лежит напротив него. Номера точек исходной схемы сохранены.Открыть схему крупнее ↗
4. Считаем клеточные промежутки
По стороне 4–3 насчитываем 15 промежутков между соседними линиями сетки. По стороне 3–2 — 8 промежутков.
Считаем клетки вдоль каждой стороны, а не линии сетки: у отрезка из 15 клеток граничных линий на одну больше. На поясняющих полосках промежутки пронумерованы.
5. Учитываем масштаб плана
Одна клетка соответствует 1 км. Первый катет: 15 × 1 = 15 км. Второй катет: 8 × 1 = 8 км.
Масштаб относится к длинам. Оба катета уже выражены в километрах, поэтому дальше работаем с этими числами.
Проверяем катеты и вычисляем гипотенузу
Полоски выпрямляют два катета исходной схемы. Каждый квадрат — один промежуток сетки, цифры помогают проверить подсчёт. Длины умножаются на масштаб до применения теоремы Пифагора.Открыть схему крупнее ↗
6. Записываем теорему Пифагора
Для прямоугольного треугольника c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты. Квадрат числа означает произведение числа на само себя.
Подставляем найденные длины: c² = 15² + 8².
7. Вычисляем квадраты и складываем
15² = 15 × 15 = 225. 8² = 8 × 8 = 64.
Значит, c² = 225 + 64 = 289. Пока получили квадрат длины, а не саму длину.
8. Извлекаем квадратный корень
Нужно найти положительное число, квадрат которого равен 289. Так как 17 × 17 = 289, получаем c = √289 = 17 км.
Длина не бывает отрицательной, поэтому берём положительное значение корня.
9. Проверяем здравый смысл и вычисления
Гипотенуза 17 км больше каждого катета (15 км и 8 км), но меньше пути по двум катетам: 15 + 8 = 23 км.
