ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 3 · ФИПИ 0F361910 из 72
Масловка — Захарово: расстояние по прямой
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 15.
Саша летом отдыхает у дедушки в деревне Масловка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Захарово в магазин. Из деревни Масловка в село Захарово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Вёсенка до деревни Полянка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Захарово. Есть и третий маршрут: в деревне Вёсенка можно свернуть на прямую тропинку в село Захарово, которая идёт мимо пруда.
Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Саша с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке со скоростью 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.
3
Найдите расстояние от деревни Масловка до села Захарово по прямой. Ответ дайте в километрах.
Сначала выделим нужные данные, затем разберём каждый шаг и проверим результат.
Что нужно найти
Найти расстояние по прямой между пунктами Масловка и Захарово.
Начальная точка
Масловка — 1
Поворот шоссе
Полянка — 3
Конечная точка
Захарово — 4
Данные о расстояниях
1 км на одну клетку
1. Разбираемся, какое расстояние требуется
Вопрос просит расстояние между пунктами Масловка и Захарово по прямой. На плане это отрезок 1–4.
Путь через поворот 3 состоит из двух участков и длиннее прямого отрезка. Сумма их длин не будет ответом на этот вопрос.
2. Находим три опорные точки
Полянка — точка 3, в которой шоссе поворачивает под прямым углом. На концах нужных участков находятся Масловка (1) и Захарово (4).
Прослеживаем стороны треугольника: 1–3, 3–4 и 1–4. Названия сверяем с общим описанием, прежде чем считать расстояния.
3. Различаем катеты и гипотенузу
Угол в точке 3 прямой, то есть равен 90°. Две стороны, образующие этот угол, называются катетами: это 1–3 и 3–4.
Сторона напротив прямого угла — гипотенуза 1–4. Её длину и нужно найти. Для прямоугольного треугольника подходит теорема Пифагора.
Находим прямоугольный треугольник на плане
Выделены только три нужные стороны. Два шоссе образуют прямой угол; прямая дорога лежит напротив него. Номера точек исходной схемы сохранены.Открыть схему крупнее ↗
4. Считаем клеточные промежутки
По стороне 1–3 насчитываем 21 промежутков между соседними линиями сетки. По стороне 3–4 — 20 промежутков.
Считаем клетки вдоль каждой стороны, а не линии сетки: у отрезка из 21 клеток граничных линий на одну больше. На поясняющих полосках промежутки пронумерованы.
5. Учитываем масштаб плана
Одна клетка соответствует 1 км. Первый катет: 21 × 1 = 21 км. Второй катет: 20 × 1 = 20 км.
Масштаб относится к длинам. Оба катета уже выражены в километрах, поэтому дальше работаем с этими числами.
Проверяем катеты и вычисляем гипотенузу
Полоски выпрямляют два катета исходной схемы. Каждый квадрат — один промежуток сетки, цифры помогают проверить подсчёт. Длины умножаются на масштаб до применения теоремы Пифагора.Открыть схему крупнее ↗
6. Записываем теорему Пифагора
Для прямоугольного треугольника c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты. Квадрат числа означает произведение числа на само себя.
Подставляем найденные длины: c² = 21² + 20².
7. Вычисляем квадраты и складываем
21² = 21 × 21 = 441. 20² = 20 × 20 = 400.
Значит, c² = 441 + 400 = 841. Пока получили квадрат длины, а не саму длину.
8. Извлекаем квадратный корень
Нужно найти положительное число, квадрат которого равен 841. Так как 29 × 29 = 841, получаем c = √841 = 29 км.
Длина не бывает отрицательной, поэтому берём положительное значение корня.
9. Проверяем здравый смысл и вычисления
Гипотенуза 29 км больше каждого катета (21 км и 20 км), но меньше пути по двум катетам: 21 + 20 = 41 км.
