ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 5 · ФИПИ 59DCD026 из 72

Радиус арки печи: ширина 60 см, высота боковой части 40 см

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1 $-$ 5.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон
в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8 $-$ 12	40	18 000
2	дровяная	10 $-$ 16	48	19 500
3	электрическая	9 $-$ 15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2.

$Таблица или рисунок к заданию №5 ФИПИ 59DCD0$	$Таблица или рисунок к заданию №5 ФИПИ 59DCD0$
Рис. 1	Рис. 2

Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2).
Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Условие и рисунки: открытый банк ФИПИ, задание 59DCD0.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 50.

Найти радиус окружности, по дуге которой сделана верхняя арка кожуха.

Что нужно найти

Найти радиус окружности, по дуге которой сделана верхняя арка кожуха.

Ширина кожуха: 60 см
Высота прямой боковой части: 40 см
Центр окружности: Середина нижней стороны
Нужно найти: Радиус R

1. Читаем чертёж и положение центра

Нижняя ширина кожуха равна 60 см. Центр окружности O расположен в середине нижней стороны, как сказано в условии.

Размер 40 см относится к прямой боковой части до начала дуги. Это не полная высота арки.

2. Выбираем точку на окружности

Обозначим A точку, где левая вертикальная сторона встречается с дугой. Отрезок OA соединяет центр с точкой окружности, поэтому OA = R.

Буква R на рисунке указывает радиус. Чтобы его найти, построим прямоугольный треугольник.

3. Делим нижнюю сторону пополам

Обозначим B левый нижний угол. Так как O — середина нижней стороны, BO = 60 : 2 = 30 см.

Используем половину ширины, а не всю ширину. Это горизонтальный катет треугольника ABO.

4. Находим второй катет и прямой угол

AB = 40 см — высота левой прямой стороны. Нижняя сторона горизонтальная, боковая вертикальная, поэтому угол B прямой.

Катеты: 30 см и 40 см. Радиус OA лежит напротив прямого угла и является гипотенузой.

Выделяем радиус и два катета на чертеже. O — середина нижней стороны, A — начало дуги, B — нижний угол. Красный отрезок OA является радиусом; синий и зелёный — перпендикулярные катеты. — O — середина нижней стороны, A — начало дуги, B — нижний угол. Красный отрезок OA является радиусом; синий и зелёный — перпендикулярные катеты.

5. Применяем теорему Пифагора

R² = BO² + AB² = 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500.

Пифагор связывает квадраты длин. Сложить сами катеты для радиуса нельзя.

6. Извлекаем положительный корень

R = √2500 = 50 см, потому что 50 × 50 = 2500.

Выбираем положительное значение: длина не может быть отрицательной.

Находим радиус по теореме Пифагора. Треугольник сохраняет соотношение катетов. Радиус соединяет центр O с точкой A на окружности. Берём половину ширины и высоту прямой части, затем извлекаем корень. — Треугольник сохраняет соотношение катетов. Радиус соединяет центр O с точкой A на окружности. Берём половину ширины и высоту прямой части, затем извлекаем корень.

7. Проверяем результат

50 см больше каждого катета и меньше их суммы 70 см. Это соответствует гипотенузе прямоугольного треугольника.

Обратная проверка: 50² − 30² = 1600 = 40². Получили исходную высоту боковой части.

8. Записываем ответ

Ответ: 50 см.

В поле ответа вводим только число 50, без единиц измерения. Записываем именно величину, которую спрашивают в условии.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Половина ширины	30 см
Высота прямой части	40 см
Квадрат радиуса	2500 см²
Радиус	50 см

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Найдите центр окружности в середине основания.
Соедините центр с точкой начала дуги на боковой стороне.
Возьмите половину ширины и высоту прямой части как катеты.
Найдите радиус по Пифагору и извлеките положительный корень.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Правила чтения данных и записи ответа

Радиус соединяет центр окружности с точкой на ней.
Середина делит отрезок на две равные части.
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Размер боковой прямой части не равен высоте верхней точки арки.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не используйте всю ширину вместо половины.
Не принимайте вертикальный размер за готовый радиус.
Не записывайте R² вместо R.

Все 72 задания №5