Найдите все значения $a$, при которых уравнение ${(2x+a+1+\mathrm{tg}x)}^2={(2x+a-1-\mathrm{tg}x)}^2$ имеет единственное решение на отрезке $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$.

Текстовый конспект решения

1. Преобразуйте уравнение к набору более простых ветвей и заранее выпишите ограничения на переменную.
2. Для условия «((2x+a+1+tgx))${}^2$=((2x+a−1−tgx))${}^2$ имеет единственное решение на отрезке [−$\frac{\pi }{2}$;$\frac{\pi }{2}$]» найдите все критические значения параметра и разбейте числовую ось по этим точкам.
3. Отберите параметры, при которых на заданном промежутке остаётся ровно один допустимый корень.
4. Проверка границ и исключённых значений приводит к ответу: (−∞; −π] ∪ {$\frac{\pi }{2}$} ∪ [π; +∞).

Ответ: (−∞; −π] ∪ {$\frac{\pi }{2}$} ∪ [π; +∞)