Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений ${(x y - 2 x + 12) \cdot y - 2 x + 12 = 0, y = a x - 10$ имеет ровно два различных решения.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 752FA4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Исследуем система {(xy−2x+12)⋅sqrt(y−2x+12)=0,y=ax−10 имеет ровно два различных решения. Число решений меняется только при касании, совпадении корней или переходе через границу области определения.

Ключевая идея: сначала учесть область определения корней, а затем считать только различные допустимые решения.

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пошаговое решение задания 19 ЕГЭ по профильной математике, ФИПИ 752FA4

Текстовый конспект решения

Запишите ограничения на подкоренные выражения и учитывайте знак обеих частей равенства.
Для условия «система {(xy−2x+12)⋅sqrt(y−2x+12)=0,y=ax−10 имеет ровно два различных решения» найдите все критические значения параметра и разбейте числовую ось по этим точкам.
Отберите параметры, при которых объединение всех ветвей даёт ровно два различных решения.
Проверка границ и исключённых значений приводит к ответу: (−∞; 0) ∪ (0; $\frac{5}{3}$ ] ∪ {2; 3}.

Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; $\frac{5}{3}$ ] ∪ {2; 3}

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Уравнения с параметром
Область определения
Количество решений

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

После возведения в квадрат обязательно вернитесь к исходной области определения.
Не смешивайте число алгебраических корней с числом различных решений исходной задачи.
Перед включением границы подставьте её в исходное условие, а не только в преобразованное уравнение.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Все ветви уравнения рассмотрены?
2Границы включены верно?
3Посчитаны различные решения?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №19

Все задания линии №19 →

Задачи с параметромНайдите все значения a ((x+ln(x+a))) $^{2}$ =((x−ln(x+a))) $^{2}$ имеет единственное решение на…FIPI ID 8D6C09 Задачи с параметромНайдите все значения а , для каждого из которых уравнение (4) $^{x}$ +(a−6)(2) $^{x}$ =(2+3|a|)(2)^(…FIPI ID 617476 Задачи с параметромНайдите все значения a (25) $^{x}$ −(a+6)(5) $^{x}$ =(5+3|a|)(5) $^{x}$ −(a+6)(3|a|+5)FIPI ID B384BC Задачи с параметромНайдите все значения параметра a sqrt((x) $^{4}$ −4(x) $^{2}$ +9(a) $^{2}$ )=(x) $^{2}$ +2x−3aFIPI ID E1F91F Задачи с параметромНайдите все значения a ((2x+a+1−tgx)) $^{2}$ =((2x+a−1+tgx)) $^{2}$ имеет единственное решение на…FIPI ID 36F316 Задачи с параметромНайдите все значения параметра a sqrt((x) $^{4}$ −16(x) $^{2}$ +64(a) $^{2}$ )=(x) $^{2}$ +4x−8aFIPI ID 8C0C15

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №19Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений {(xy−2x+12)⋅y−2x+12​=0,y=ax−10 имеет ровно два различных решения.