Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение ${(3x+|x-a|+|2x+a+1|)}^2-a(3x+|x-a|+|2x+a+1|)+a^2-16=0$ имеет ровно один корень.

Текстовый конспект решения

1. Разбейте выражения с модулями на интервалы постоянного знака и сохраните граничные точки.
2. Для условия «((3x+|x−a|+|2x+a+1|))${}^2$−a(3x+|x−a|+|2x+a+1|)+(a)${}^2$−16=0 имеет ровно один корень» найдите все критические значения параметра и разбейте числовую ось по этим точкам.
3. Отберите параметры, при которых на заданном промежутке остаётся ровно один допустимый корень.
4. Проверка границ и исключённых значений приводит к ответу: ($\frac{-1-\sqrt{61}}{2}$; $\frac{-1+\sqrt{61}}{2}$) ∪ {8$\frac{\sqrt{3}}{3}$}.

Ответ: ($\frac{-1-\sqrt{61}}{2}$; $\frac{-1+\sqrt{61}}{2}$) ∪ {8$\frac{\sqrt{3}}{3}$}