Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\{x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0,y^2=x^2$ имеет ровно четыре различных решения.

Текстовый конспект решения

1. Сведите систему к пересечению графиков и отдельно отметьте случаи касания и совпадения точек.
2. Для условия «система {(x)${}^2$+(y)${}^2$−4(a+1)x−2ay+5(a)${}^2$+8a+3=0,(y)${}^2$=(x)${}^2$ имеет ровно четыре различных решения» найдите все критические значения параметра и разбейте числовую ось по этим точкам.
3. Определите, когда получаются ровно четыре различные допустимые точки; случаи нулевых координат проверьте отдельно.
4. Проверка границ и исключённых значений приводит к ответу: ($\frac{-2-\sqrt{2}}{3}$; −1) ∪ (−1; −$\frac{3}{5}$) ∪ (−$\frac{3}{5}$; −2+$\sqrt{2}$).

Ответ: ($\frac{-2-\sqrt{2}}{3}$; −1) ∪ (−1; −$\frac{3}{5}$) ∪ (−$\frac{3}{5}$; −2+$\sqrt{2}$)