Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение $a{(x+\frac{4}{x})}^2+2(x+\frac{4}{x})-25a+10=0$ имеет ровно два различных корня.

Текстовый конспект решения

1. Преобразуйте уравнение к набору более простых ветвей и заранее выпишите ограничения на переменную.
2. Для условия «a((x+$\frac{4}{x}$))${}^2$+2(x+$\frac{4}{x}$)−25a+10=0 имеет ровно два различных корня» найдите все критические значения параметра и разбейте числовую ось по этим точкам.
3. Отберите параметры, при которых объединение всех ветвей даёт ровно два различных решения.
4. Проверка границ и исключённых значений приводит к ответу: {0; $\frac{1}{5}$} ∪ ($\frac{2}{9}$; 2).

Ответ: {0; $\frac{1}{5}$} ∪ ($\frac{2}{9}$; 2)