Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений $\{(x^2+y^2+4x)\cdot \sqrt{2x+y+6}=0,y=x+a$ имеет ровно два различных решения.

Текстовый конспект решения

1. Запишите ограничения на подкоренные выражения и учитывайте знак обеих частей равенства.
2. Для условия «система {((x)${}^2$+(y)${}^2$+4x)⋅sqrt(2x+y+6)=0,y=x+a имеет ровно два различных решения» найдите все критические значения параметра и разбейте числовую ось по этим точкам.
3. Отберите параметры, при которых объединение всех ветвей даёт ровно два различных решения.
4. Проверка границ и исключённых значений приводит к ответу: {2−2$\sqrt{2}$} ∪ [0; $\frac{24}{5}$] ∪ {2+2$\sqrt{2}$}.

Ответ: {2−2$\sqrt{2}$} ∪ [0; $\frac{24}{5}$] ∪ {2+2$\sqrt{2}$}