Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение ${(|x-a^2|+|x+1|)}^2-7(|x-a^2|+|x+1|)+4a^2+4=0$ имеет ровно два различных корня.

Текстовый конспект решения

1. Разбейте выражения с модулями на интервалы постоянного знака и сохраните граничные точки.
2. Для условия «((|x−(a)${}^2$|+|x+1|))${}^2$−7(|x−(a)${}^2$|+|x+1|)+4(a)${}^2$+4=0 имеет ровно два различных корня» найдите все критические значения параметра и разбейте числовую ось по этим точкам.
3. Отберите параметры, при которых объединение всех ветвей даёт ровно два различных решения.
4. Проверка границ и исключённых значений приводит к ответу: (−$\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$) ∪ {−$\frac{\sqrt{33}}{4}$; $\frac{\sqrt{33}}{4}$}.

Ответ: (−$\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$) ∪ {−$\frac{\sqrt{33}}{4}$; $\frac{\sqrt{33}}{4}$}