Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\ln (4x-1)\cdot \sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;3]$.

Текстовый конспект решения

1. Запишите область допустимых значений логарифмов и всех подкоренных выражений.
2. Для условия «ln(4x−1)⋅sqrt((x)${}^2$−6x+6a−(a)${}^2$)=0 имеет ровно один корень на отрезке [0;3]» найдите все критические значения параметра и разбейте числовую ось по этим точкам.
3. Отберите параметры, при которых на заданном промежутке остаётся ровно один допустимый корень.
4. Проверка границ и исключённых значений приводит к ответу: ($\frac{1}{4}$; $\frac{1}{2}$] ∪ [$\frac{11}{2}$; $\frac{23}{4}$).

Ответ: ($\frac{1}{4}$; $\frac{1}{2}$] ∪ [$\frac{11}{2}$; $\frac{23}{4}$)