Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\{(x+ay-5)(x+ay-5a)=0,x^2+y^2=16$ имеет ровно четыре различных решения.

Текстовый конспект решения

1. Сведите систему к пересечению графиков и отдельно отметьте случаи касания и совпадения точек.
2. Для условия «система {(x+ay−5)(x+ay−5a)=0,(x)${}^2$+(y)${}^2$=16 имеет ровно четыре различных решения» найдите все критические значения параметра и разбейте числовую ось по этим точкам.
3. Определите, когда получаются ровно четыре различные допустимые точки; случаи нулевых координат проверьте отдельно.
4. Проверка границ и исключённых значений приводит к ответу: (−$\frac{4}{3}$; −$\frac{3}{4}$) ∪ ($\frac{3}{4}$; 1) ∪ (1; $\frac{4}{3}$).

Ответ: (−$\frac{4}{3}$; −$\frac{3}{4}$) ∪ ($\frac{3}{4}$; 1) ∪ (1; $\frac{4}{3}$)