На (2) совпадают конец определения книг и конец деепричастного оборота. В ответе цифра всё равно появляется один раз.
Шаг 1. Уточним, что требуется найти
В начале главный член — «начинаешь понимать», далее — «замысел рождался»; после двоеточия — «холмы и стены, ансамбль и рощи навеяли». В условии нужно выбрать все пронумерованные места для запятых. Уже напечатанные знаки сохраняем.
Шаг 2. Найдём обороты и их границы
1. Добавочное действие
«Изучая книги собранные музеем в Михайловском» обозначает добавочное действие при «начинаешь понимать». Выделим эту деепричастную конструкцию целиком. Весь оборот включает дополнение «книги» вместе с его причастным определением и заканчивается перед «начинаешь».
2. Определение после существительного
Определение «собранные музеем в Михайловском» поясняет «книги». Оно стоит после определяемого слова и обособляется. Причастный оборот стоит после «книги». Его закрывающая запятая (2) одновременно закрывает внешнюю деепричастную конструкцию.
3. Определение перед существительным
«подарившие поэту живое ощущение эпохи» — определение слова «рощи», расположенное перед ним. В этом контексте отдельно обособлять его не нужно. Оборот стоит перед сочетанием «михайловские рощи». Союз перед ним относится к перечислению подлежащих, а не открывает обособление.
Шаг 3. Проверим каждую цифру
(1) — ставим запятую
…Изучая книги (1) собранные музеем в Михайловском…
Здесь проходит граница конструкции «собранные музеем в Михайловском». Это место включаем в ответ.
(2) — ставим запятую
…собранные музеем в Михайловском (2) начинаешь яснее понимать, как…
Здесь совпадают границы нескольких конструкций: «Изучая книги собранные музеем в Михайловском»; «собранные музеем в Михайловском». Ставим одну запятую, а цифру в ответе указываем один раз.
(3) — без запятой
…ансамбль Святогорского монастыря и (3) подарившие поэту живое ощущение…
Определение «подарившие поэту живое ощущение эпохи» расположено перед словом «рощи»; в этом сочетании запятыми его не выделяем.
(4) — без запятой
…поэту живое ощущение эпохи (4) михайловские рощи.…
Определение «подарившие поэту живое ощущение эпохи» расположено перед словом «рощи»; в этом сочетании запятыми его не выделяем.
Текст с расставленными запятыми
Изучая книги, собранные музеем в Михайловском, начинаешь яснее понимать, как рождался гениальный замысел «Бориса Годунова»: всё это навеяли древние холмы и стены Пскова, величавый ансамбль Святогорского монастыря и подарившие поэту живое ощущение эпохи михайловские рощи.
Шаг 4. Запишем ответ
Запятые нужны на местах (1), (2). Позиции (3), (4) исключаем по разобранным выше связям слов. Перечитываем восстановленный текст и записываем цифры подряд, без повторов и разделителей: 12.
Ответ:12
ФИПИ: навигатор по пунктуации