Загадочно улыбаясь (1) профессор крутил в руках простенькую свирель (2) подаренную ему участником (3) первой экспедиции.
Источник: Открытый банк заданий ФИПИ · 44FECA
Добавочное действие находится в начале, а определение подаренной свирели — после дополнения в конце предложения.
Основа — «профессор крутил». В условии нужно выбрать все пронумерованные места для запятых. Уже напечатанные знаки сохраняем.
«Загадочно улыбаясь» обозначает добавочное действие при «крутил». Выделим эту деепричастную конструкцию целиком. Наречие «загадочно» относится к деепричастию. Начальная группа заканчивается перед подлежащим «профессор».
Определение «подаренную ему участником первой экспедиции» поясняет «свирель». Оно стоит после определяемого слова и обособляется. На (3) нельзя отрывать «первой экспедиции» от слова «участником». Это зависимые слова внутри причастного оборота, который продолжается до точки.
…Загадочно улыбаясь (1) профессор крутил в руках…
Здесь проходит граница конструкции «Загадочно улыбаясь». Это место включаем в ответ.
…в руках простенькую свирель (2) подаренную ему участником первой…
Здесь проходит граница конструкции «подаренную ему участником первой экспедиции». Это место включаем в ответ.
…свирель подаренную ему участником (3) первой экспедиции.…
На (3) нельзя отрывать «первой экспедиции» от слова «участником».
Загадочно улыбаясь, профессор крутил в руках простенькую свирель, подаренную ему участником первой экспедиции.
Запятые нужны на местах (1), (2). Позиции (3) исключаем по разобранным выше связям слов. Перечитываем восстановленный текст и записываем цифры подряд, без повторов и разделителей: 12.
Деепричастие с зависимыми словами или без них обычно обособляется. Находим всё добавочное действие, включая зависимые слова; у однородных конструкций с одиночным «и» общие внешние границы. Устойчивые выражения и слова, перешедшие в наречия, требуют отдельной проверки.
Загадочно улыбаясь Наречие «загадочно» относится к деепричастию. Начальная группа заканчивается перед подлежащим «профессор».
Причастный оборот после определяемого существительного обособляется. Два однородных оборота с одиночным «и» или «или» выделяются как одна группа; между ними запятой нет.
подаренную ему участником первой экспедиции На (3) нельзя отрывать «первой экспедиции» от слова «участником». Это зависимые слова внутри причастного оборота, который продолжается до точки.