Ответ: кивнула кокетливо.
Также принимается: кокетливо кивнула.
Преобразование: управление → примыкание.
1. Находим главное и зависимое слова
Главное слово — «кивнула», зависимая часть — «с кокетством». От главного слова задаём падежный вопрос: «кивнула (с чем?) с кокетством». Зависимое слово имеет падежную форму, поэтому в исходнике управление.
2. Выполняем синонимическую замену
Сочетание «с кокетством» описывает манеру жеста. Его заменяет наречие «кокетливо»; сохраняем прошедшее время и женский род глагола: «кивнула кокетливо».
3. Проверяем новый вид связи
В ответе главное слово — «кивнула», зависимое — «кокетливо»: «кивнула (как?) кокетливо». Зависимое слово — наречие образа действия; оно не получает форм рода, числа или падежа для связи с главным. Поэтому получено примыкание.
4. Сохраняем смысл и избегаем ошибки
Не пишите «кокетливая кивнула»: это характеристика человека, а не требуемое неизменяемое зависимое слово. В основном варианте действие поясняет наречие «кокетливо».
кивнула с кокетством → кивнула кокетливо
Разбор подготовлен редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.