Задание 10 из 50Прямоугольный треугольник

Линия №1 · Базовый уровень

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $A BC$ равен 21°. Найдите величину угла между биссектрисой $C D$ и медианой $CM$ , проведёнными из вершины прямого угла $C$ . Ответ дайте в градусах.

Геометрическая схема к заданию №93010: Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 21°. Найдите величину угла между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого… — Геометрическая схема к условию задания 1 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: B54D55

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 24

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Используем свойство середины гипотенузы и равнобедренного треугольника, затем сравниваем медиану с биссектрисой. Цель этого задания — угол между CD и CM при B=21°.

Ключевая идея: Середина гипотенузы равноудалена от трёх вершин, поэтому возникает равнобедренный треугольник..

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$ , угол $B$ равен $21^\circ$ . Из вершины $C$ проведены биссектриса $CD$ и медиана $CM$ к гипотенузе. Требуется найти угол между ними.

Шаг 1. Найдём угол между $CA$ и медианой $CM$

Сначала $\angle A=90^\circ-21^\circ=69^\circ$ . Точка $M$ — середина гипотенузы, поэтому она равноудалена от вершин прямоугольного треугольника:

AM=BM=CM

В треугольнике $ACM$ стороны $AM$ и $CM$ равны, значит углы при основании $AC$ равны:

\angle ACM=\angle CAM=69^\circ

Шаг 2. Найдём угол между $CA$ и биссектрисой $CD$

Биссектриса делит прямой угол $C$ пополам:

\angle ACD=45^\circ

Шаг 3. Вычислим искомый угол

Угол между медианой и биссектрисой равен разности их углов с лучом $CA$ :

\angle DCM=69^\circ-45^\circ=24^\circ

Ответ:

24

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Если $M$ — середина гипотенузы, то $AM=BM=CM$.
Биссектриса прямого угла образует с каждым катетом угол $45^\circ$.
Для задания №93010 важно получить именно: угол между CD и CM при B=21°.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Считать, что медиана прямого угла обязательно является его биссектрисой.
Не обосновать равенство углов через равные стороны треугольника $ACM$.
Остановиться на промежуточном результате и не проверить требуемую величину: угол между CD и CM при B=21°.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Запишите равенство расстояний от середины гипотенузы до вершин.
2Сравните углы медианы и биссектрисы относительно одного катета.
3Убедитесь, что в ответе получена величина «угол между CD и CM при B=21°».

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №1

Все задания линии №1 →

Прямоугольный треугольникВ треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, AC = $51$ . Найдите sin A.FIPI ID 7FA4FB Прямоугольный треугольникВ треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, AC = $91$ . Найдите sin A.FIPI ID FFBD0F Прямоугольный треугольникВ треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, BC = $19$ . Найдите cos A.FIPI ID A33A46 Прямоугольный треугольникВ треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, BC = 4. Найдите cos A.FIPI ID 847B0B Прямоугольный треугольникОстрый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 25°. Найдите величину угла между высотой…FIPI ID 78e8A7 Прямоугольный треугольникОстрый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 70°. Найдите величину угла между…FIPI ID D68789

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №1Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена