Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!↪ВойтиЧерез VK ID

Меню

ЕГЭ · ПРОФИЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Задание 20: 40 заданий ФИПИ

Задачи на теорию чисел. Все задания снабжены ссылкой на открытую карточку ФИПИ. Перенесены все актуальные условия задач по теории чисел линии 20 из открытого банка ФИПИ. Для каждого задания опубликованы решение в формате изображения, доступный текстовый конспект и точный ответ.

Добавить в вариант

1

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 30D64C

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314? в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

Решать →

2

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID F58FFD

В школах $№$ 1 и $№$ 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№$ 1 в школу $№$ 2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. а) Мог ли средний балл в школе $№$ 1 вырасти в 2 раза? б) Средний балл в школе $№$ 1 вырос на 10%, средний балл в школе $№$ 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе $№$ 2 равняться 1? в) Средний балл в школе $№$ 1 вырос на 10%, средний балл в школе $№$ 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе $№$ 2.

Решать →

3

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 7CA5F3

Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй $-$ 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов. а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй $-$ 89,
а в третьей $-$ 15? б) Мог ли в третьей коробке оказаться 201 камень? в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Решать →

4

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID A68DFB

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел
из записанных является целым числом. а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013? б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403? в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа $n,$ большего 1. Найдите наименьшее возможное
значение $n .$

Решать →

5

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 6E44FB

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $- 72.$ Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно четыре карточки? б) Может ли число красных карточек на столе быть на 60 больше числа синих карточек на столе? в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Решать →

6

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 2B4308

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 25 % от общего количества контейнеров. а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 20 % от общей массы всех контейнеров? б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60 % от общей массы всех контейнеров? в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

Решать →

7

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID F37F75

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $- 36.$ Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка? б) Может ли на столе лежать ровно 50 синих карточек? в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

Решать →

8

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID D3C577

В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек
не превышает 21 %. а) Может ли в этом классе быть 5 девочек? б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка? в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Решать →

9

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID B3C1B7

На столе лежит $N$ монет по 2 рубля и $(1200 - N)$ монет по 5 рублей ( $N$ — натуральное число от 1 до 1199). Оказалось, что если взять любые 500 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе. а) Может ли $N$ равняться 400? б) Может ли $N$ равняться 600? в) Сколько различных значений может принимать число $N ?$

Решать →

10

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID B5D110

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число.
К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы $-$ цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений. а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза? б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз? в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Решать →

11

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 34A218

На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: $1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136$ . а) Можно ли получить сумму 132, если $n = 60$ ? б) Можно ли получить сумму 132, если $n = 80$ ? в) Для скольких значений $n$ можно получить сумму 132?

Решать →

12

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 742D28

На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 20. а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся
на 21? б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся
на 15? в) Найдите наибольшее возможное число $k$ такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на $k .$

Решать →

13

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID D8F724

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 75 % от общего количества контейнеров. а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 80 % от общей массы всех контейнеров? б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 40 % от общей массы всех контейнеров? в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

Решать →

14

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID A65127

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем. а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем? б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну? в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Решать →

15

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 85FA27

В ящике лежит 87 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 94 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 127 г. а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г? б) Могло ли в ящике оказаться меньше 9 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г? в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?

Решать →

16

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 4B81D5

На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: $1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136$ . а) Можно ли получить сумму 113, если $n = 50$ ? б) Можно ли получить сумму 114, если $n = 50$ ? в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если $n = 50$ ?

Решать →

17

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 7C3FDA

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15. а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3? б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11? в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Решать →

18

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 4A9559

Для чисел $A$ и $B,$ состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют
$S$ $-$ сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A = 123$ и $B = 579$ получается сумма $S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 9 = 46$ . а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B,$ для которых $S = 200$ ? б) Существуют ли четырёхзначные числа $A$ и $B,$ для которых $S = 320$ ? в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 340 является суммой $S$
для некоторых пятизначных чисел $A$ и $B$ ?

Решать →

19

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 6FF25E

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $- 60.$ Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно три красных карточки? б) Может ли на столе лежать ровно 150 красных карточек? в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

Решать →

20

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 394D51

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел
из записанных является целым числом. а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 305 и 1511? б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 305? в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число $n$ и его квадрат $n^{2}$ Найдите наименьшее возможное значение $n$

Решать →

21

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID D51CAD

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3. а) Может ли $N$ быть равным 360? б) Может ли $N$ быть равным 149? в) Найдите наибольшее значение $N .$

Решать →

22

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID A87FAB

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные числа, делящиеся на 3 (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $- 45.$ Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно утроенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек? б) Может ли на столе лежать ровно 100 красных карточек? в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

Решать →

23

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 6E32AD

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 4 и 9 (возможно, только одна из этих цифр). а) Может ли сумма этих чисел быть равна 107? б) Может ли сумма этих чисел быть равна 289? в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 3986?

Решать →

24

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID C009C4

Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей. а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей? б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей? в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?

Решать →

25

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 9FE39A

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными. а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел? б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел? в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?

Решать →

26

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 2907EB

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23. а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20? б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20? в) Найдите наибольшее возможное значение $k .$

Решать →

27

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID CFEFEF

Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое $-$ трёхзначное и оба кратны 45. а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205? б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?

Решать →

28

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID C690EB

В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем
в предыдущий день. а) Может ли $n$ быть больше 5? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Решать →

29

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID C794EA

а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Решать →

30

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 8755EE

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров. а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски
длиной 1 см? б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски
длиной 1 см? в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?

Решать →

31

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 0FB969

Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны. а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн? б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны? в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?

Решать →

32

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 7F366B

Из правильной несократимой дроби $\frac{a}{b}$ , где $a$ и $b$ $-$ натуральные числа, за один ход получают дробь $\frac{a + b}{2 a + b}$ . а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби $\frac{1}{3}$ получить дробь $\frac{22}{31}$ ? б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь $\frac{7}{12}$ ? в) Несократимая дробь $\frac{c}{d}$ больше 0,7. Найдите наименьшую дробь $\frac{c}{d},$ которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?

Решать →

33

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID E8AA65

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $- 120.$ Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек? б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе? в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Решать →

34

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 724631

Ваня написал на доске трёхзначное число $A .$ Петя переписал это число $A,$ вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B .$ Коля тоже переписал это число $A,$ вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число $C .$ а) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C,$ если $A > 150$ ? б) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C,$ если $540 \leq A < 600$ ? в) Найдите наибольшее число $A,$ для которого может быть верным равенство $A = B \cdot C .$

Решать →

35

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 12AE34

Из пары натуральных чисел $(a; b)$ , где $a > b$ , за один ход получают пару $(a + b; a - b)$ . а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару, большее число в которой равно 400? б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару $(806; 788)$ ? в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a; b)$ , из которой за несколько ходов можно получить пару $(806; 788)$ ?

Решать →

36

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID F89087

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 033. а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 303? б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 31? в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа $n .$ Найдите наименьшее возможное значение $n .$

Решать →

37

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID FB6A82

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число.
К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы $-$ цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений. а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз? б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз? в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Решать →

38

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 2DC181

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a; b)$ получается пара $(3 a + b; 3 b - a)$ . а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5; 5)$ ? б) Верно ли, что если пара $(c; d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(- d; c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции? в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a; b)$ и $(c; d)$ выражением $∣ a - c ∣ + ∣ b - d ∣$ . Найдите наименьшее расстояние от пары $(9; 2)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Решать →

39

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 9BC08F

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151? в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?

Решать →

40

Задачи на теорию чиселВысокийFIPI ID 354582

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021. а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351? б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11? в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n .$ Найдите наименьшее возможное значение $n .$

Решать →