Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей. а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей? б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей? в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?

Текстовый конспект решения

1. а) Возьмём 15 монеток по 2 рубля и 29 монеток по 5 рублей. Тогда сумма взятых монет равна
2. б) Так как нам нужна чётная сумма монет, то мы можем взять только чётное число монеток по 5 рублей, то есть не более 28 таких монеток. Тогда оценим максимальную сумму, которую можно взять. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
3. Значит, 176 рублей набрать нельзя.
4. в) Сумма монеток в изначальном наборе равна
5. Значит, чтобы получить 180 рублей, необходимо добавить хотя бы 3 монетки по 1 рублю.
6. Покажем, что 3 монеток по 1 рублю достаточно. Сначала научимся собирать любую сумму от 1 до 35 рублей монетками по 1 и 2 рубля. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
7. Если нужно набрать четное число до 32 включительно, то можно получить его монетками по 2 рубля.
8. Если нужно набрать 34, то его можно получить из 16 монеток по 2 рубля и двух монеток по 1 рублю.
9. Если нужно набрать нечетное число, то сначала возьмём монетку в 1 рубль. Тогда останется добрать четную сумму от 0 до 34 включительно. Её мы умеем собирать, используя не более двух монеток по 1 рублю.
10. Теперь научимся собирать любое число от 36 до 180.
11. Для любого числа из этого промежутка будем сначала брать монетки по 5 рублей, пока не останется необходимая сумма в пределах от 0 до 35 рублей, которую мы умеем собирать из монеток по 1 и 2 рубля.
12. Заметим, что монетами по 5 рублей мы можем собрать любое кратное 5 число от 5 до 5 ⋅29 = 145. Тогда любую сумму от 36 до 180 можно уменьшить хотя бы до 35 рублей, так как 180− 145= 35.
13. Таким образом, мы сможем собрать любую целую сумму от 1 до 180 рублей включительно.

Ответ: а) Да, можно б) Нет, нельзя в) 3