На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15. а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3? б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11? в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Текстовый конспект решения

1. а) Когда в задаче дается набор различных натуральных чисел, а также дается либо сумма чисел, либо их среднее арифметическое (зная среднее арифметическое чисел и их количество, можно легко посчитать их сумму), то, как правило, работает классическая идея минимальной суммы.
2. Предположим, что наименьшее число равно 3. Тогда наименьшая возможная сумма шести наименьших чисел равна. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
3. Тогда наименьшее среднее арифметическое шести наименьших чисел равно 33 > 5. 6
4. Мы взяли шесть самых маленьких различных натуральных чисел при условии, что наименьшее из них равно 3. И если их среднее арифметическое оказалось больше 5, то и среднее арифметическое шести любых различных натуральных чисел, наименьшее из которых равно 3, будет больше 5.
5. Следовательно, мы получили противоречие, значит, наименьшее число в наборе не может быть равно 3.
6. б) Пусть мы имеем набор упорядоченных по возрастанию чисел
7. Тогда по условию имеем. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
8. Отсюда получаем
9. Наименьшее возможное значение a5 — это 5, так как числа натуральные и различные и они упорядочены по возрастанию. Тогда самое маленькое возможное значение a6 — это 6. Но тогда наибольшая возможная сумма равна. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
10. Значит, наибольшее возможное среднее арифметическое всех десяти чисел равно. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
11. Следовательно, среднее арифметическое всех чисел не может быть равно 11.
12. в) В предыдущем пункте мы сказали, что
13. Следовательно, для того, чтобы найти наибольшую возможную сумму всех чисел, нужно найти наименьшую возможную сумму a5+ a6.
14. Ранее мы доказали, что минимальная сумма a5+ a6 = 11. Заметим, что, учитывая условие, что сумма наименьших шести чисел равна 30, такая ситуация невозможна: наибольшее возможное a5 тогда равно 5, значит, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
15. Отсюда мы получаем, что наибольшая сумма первых шести чисел равна. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
16. Рассмотрим следующие случаи.
17. 1) Пусть a5 +a6 =12. Тогда
18. Тогда наибольшее возможное значение для a5 — это 5. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
19. Следовательно, такой случай невозможен.
20. 2) Пусть a5 +a6 =13. Тогда
21. Тогда наибольшее возможное значение для a5 — это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
22. Следовательно, такой случай невозможен.
23. 3) Пусть a5 +a6 =14. Тогда
24. Тогда наибольшее возможное значение для a5 — это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
25. Следовательно, такой случай невозможен.
26. 4) Пусть a5 +a6 =15. Тогда
27. Тогда наибольшее возможное значение для a5 — это 7. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
28. Это не меньше 15, следовательно, противоречия мы не получили. Попробуем построить пример.
29. Возьмем a5 = 7,a6 = 8. Возьмем также
30. Тогда действительно
31. Подберем последние четыре числа. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
32. Тогда действительно
33. Пример приведен, следовательно, наибольшая возможная сумма десяти чисел равна 120− 15= 105. Тогда наибольшее среднее арифметическое всех чисел равно 10,5.

Ответ: а) Нет б) Нет в) 10,5