На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: $1+1+111+11+11+1=136$. а) Можно ли получить сумму 132, если $n=60$? б) Можно ли получить сумму 132, если $n=80$? в) Для скольких значений $n$ можно получить сумму 132?

Текстовый конспект решения

1. Во всех трёх пунктах полученная сумма равняется 132, отличается лишь количество единиц. Понятно, что все слагаемые будут числами, состоящими из единиц, и все они не могут быть 1111 и больше, так как сумма в этом случае будет явно больше 132. То есть все слагаемые будут вида 1, 11 или 111. Заметим, что может быть максимум одно слагаемое 111, иначе сумма будет не менее 222, что больше 132.
2. а) Если слагаемое 111 в сумме есть, то осталось составить сумму 132− 111= 21 из слагаемых 1 и 11. Но из 60 − 3 = 57 единиц сделать это невозможно, ведь они в сумме дадут как минимум 57.
3. Значит, все слагаемые равны 1 или 11. Пусть x слагаемых равны 11, тогда оставшиеся 60− 2x слагаемых равны 1. Можем составить уравнение. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
4. Получили, что такое возможно, если взять 8 слагаемых по 11 и 44 слагаемых по 1.
5. б) Аналогично рассуждениям из пункта а) понимаем, что из 80− 3= 77 единиц составить сумму 21 невозможно, значит, слагаемого 111 быть не могло. Пусть x слагаемых равны 11, тогда 80− 2x слагаемых равны 1. Можем составить уравнение. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
6. Данное уравнение имеет только нецелое решение, значит, n = 80 быть не могло.
7. в) Если слагаемое 111 в сумме есть, то осталось составить сумму 132− 111= 21 из слагаемых 1 и 11. Понятно, что слагаемых, равных 11, будет не больше 1 (иначе сумма будет минимум 22). Тогда разберем 2 возможных случая и посчитаем, чему равно n, то есть сколько единиц написано на доске при данном количестве слагаемых. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
8. 0 слагаемых, равных 11, и 21 слагаемое, равное 1. Тогда n= 3+ 21= 24;
9. 1 слагаемое, равное 11, и 10 слагаемых, равных 1. Тогда n= 3+ 2+ 10= 15.
10. Если числа 111 в сумме нет, то все слагаемые равны 1 или 11. Пусть x слагаемых равны 11, тогда n− 2x слагаемых равны 1. Можем составить уравнение. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
11. Нужно найти все возможные n ∈ ℕ при условии, что x – целое неотрицательное.
12. Нужно учитывать, что n − 2x ≥ 0, то есть
13. Таким образом, подходят все x от 0 до 12. Подставим все возможные значения x в уравнение и получим, что n может быть равно одному из чисел
14. Добавляем возможные n, когда есть слагаемое 111. Из еще не перечисленных это значение 15 (значение 24 уже есть в списке).
15. Итого получили 14 возможных значений n.

Ответ: а) Да б) Нет в) 14