В ящике лежит 87 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 94 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 127 г. а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г? б) Могло ли в ящике оказаться меньше 9 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г? в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?

Текстовый конспект решения

1. Введем следующие обозначения: x – количество фруктов с массой меньше 100 г, z – количество фруктов с массой ровно 100 г, y – количество фруктов с массой больше 100 г. По условию общее число фруктов равно x +y +z = 87.
2. Обозначим суммарную массу в граммах всех фруктов за S. По условию средняя масса всех фруктов равна 100 г, то есть
3. Аналогично суммарная масса фруктов, которые весят меньше 100 г, равна 94x; фруктов, которые весят больше 100 г – 127y; фруктов, которые весят 100 г – 100z, причем z = 87− x− y. Тогда имеет место равенство. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
4. а) Допустим, такое возможно. Тогда x= y, причем 9y = 2x. Получаем противоречие, так как x и y не могут равняться нулю.
5. б) Допустим, такое возможно. Тогда
6. Мы уже знаем, что 9y = 2x, из этого следует, что x делится на 9. Обозначим x = 9t, где t ≥0 – целое число. Тогда y =2t. Получим. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
7. Решим первое неравенство. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
8. Так как t – целое число, то t≤7.
9. Решим второе неравенство. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
10. Так как t – целое число, то t≥8.
11. Таким образом, 8 ≤t ≤7. Подходящих значений t не существует, получили противоречие.
12. в) Пусть M – наибольшая масса в граммах фрукта, очевидно, что этот фрукт находится в группе больших 100 г. Минимальный возможный вес фруктов в этой группе, при том, что один фрукт весит M, равен M +101(y− 1). Чтобы пример существовал, эта нижняя граница должна быть не больше, чем заданная в условии сумма масс фруктов в этой группе – 127y. Это необходимое условие, его выполнение не гарантирует существование примера, однако его невыполнение гарантирует, что примера нет. Тогда имеем. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
13. Максимальное допустимое M достигается при минимальном допустимом y. Мы уже знаем, что 9y = 2x, из этого следует, что x делится на 9. Обозначим x = 9t, тогда y = 2t. Получаем оценку. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
14. При y = 14 максимальное возможное M = 26y+ 101= 465. Пример: 63 фрукта массы 94 г, 10 фруктов массы 100 г, один фрукт массы 465 г, 13 фруктов массы 101 г.
15. Проверим, что пример подходит.
16. Средняя масса в граммах всех фруктов. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
17. Средняя масса в граммах фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
18. Средняя масса в граммах фруктов, масса каждого из которых больше 100 г. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
19. Таким образом, пример удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а) Нет, не может б) Нет, не может в) 465 г