На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-72.$ Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно четыре карточки? б) Может ли число красных карточек на столе быть на 60 больше числа синих карточек на столе? в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Текстовый конспект решения

1. а) Пусть на столе лежат 3 красные карты с числами −2, 0, 2 и одна синяя с числом 3.
2. Тогда все числа на красных картах делятся на 2, а число, написанное на синей карте, делится на 3.
3. Наибольшее число, написанное на красной карте, равно 2. Этому же значению равно удвоенное количество синих карт. Наибольшее число, написанное на синей карте, равно 3, то есть равно числу красных карт. Общее количество карт равно 4. Таким образом, все условия выполнены.
4. б) Пусть s – количество синих карт, k – количество красных карт. По условию k = s+ 60.
5. Самое большое число на красной карте равно 2s, и оно действительно чётное. Самое большое число на синей карте равно k = s+ 60, оно должно делиться на 3.
6. Числа на красных картах чётные, различны, больше − 72, наибольшее равно 2s. Наименьшее чётное число, большее − 72, – это −70. Количество различных чётных чисел в промежутке от − 70 до 2s равно. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
7. Таких чисел не может быть меньше k = s+ 60. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
8. Противоречие. Следовательно, такое невозможно.
9. в) Самое большое число на красной карте равно 2s. Самое большое число на синей карте равно k.
10. Числа на красных картах кратны 2, различны, больше − 72, наибольшее равно 2s. Наименьшее кратное 2 число, большее − 72, – это −70. Количество различных чисел, кратных 2, в промежутке от −70 до 2s равно s+ 36.
11. Так как всего красных карт k, то
12. Числа на синих картах кратны 3, различны, больше −72, наибольшее равно k. Наименьшее кратное 3 число, большее −72, – это −69. Количество различных чисел, кратных 3, в промежутке от −69 до k равно. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
13. Так как всего синих карт s, то
14. Из двух ограничений получаем. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
15. Заметим, что чем больше будет s, тем больше может быть k.
16. Пусть s =54. Тогда наибольшее число на красной карте равно 2 ⋅54 = 108.
17. Из неравенства 3s− 72≤ k ≤ s+ 36 при s= 54 получаем. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
18. Значит, k = 90.
19. Составим подходящий набор карт.
20. Синие карты (54 штуки). Числа кратны 3, различны, больше −72, наибольшее равно 90. Наименьшее кратное 3 число, большее −72, – это −69. Количество чисел, кратных 3, в промежутке от −69 до 90: 90−(−69) 159- 3 + 1= 3 + 1= 53+ 1= 54. Это в точности набор −69,−66,−63,...,84, 87, 90.
21. Синие карты (54 штуки). Числа кратны 3, различны, больше −72, наибольшее равно 90. Наименьшее кратное 3 число, большее −72, – это −69. Количество чисел, кратных 3, в промежутке от −69 до 90. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
22. Это в точности набор −69,−66,−63,...,84, 87, 90.
23. Красные карты (90 штук). Числа чётные, различны, больше −72, наибольшее равно 108. Наименьшее чётное число, большее −72, – это −70. Количество чётных чисел в промежутке от − 70 до 108: 108− (− 70) 178 −2−+ 1= -2-+ 1= 89+ 1 =90. Это в точности набор −70,−68,−66,...,104, 106, 108.
24. Красные карты (90 штук). Числа чётные, различны, больше −72, наибольшее равно 108. Наименьшее чётное число, большее −72, – это −70. Количество чётных чисел в промежутке от − 70 до 108. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
25. Это в точности набор −70,−68,−66,...,104, 106, 108.
26. Таким образом, k = 90, s= 54 возможно. Следовательно, наибольшее количество карт равно 144.

Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 144