Для чисел $A$ и $B,$ состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют
$S$ $-$ сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A=123$ и $B=579$ получается сумма $S=1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 9=46$. а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B,$ для которых $S=200$? б) Существуют ли четырёхзначные числа $A$ и $B,$ для которых $S=320$? в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 340 является суммой $S$
для некоторых пятизначных чисел $A$ и $B$?

Текстовый конспект решения

1. а) Да, существуют, например, сумма S для чисел 997 и 888 равна
2. б) Найдем наибольшую возможную сумму S для четырёхзначных чисел. Для этого нужно взять числа 9999 и 9999. Тогда
3. Значит, хотя бы одна цифра чисел A и B меньше 9. Тогда сумма S не больше
4. Таким образом, не существуют четырёхзначных чисел A и B, для которых S = 320.
5. в) Покажем, как можно получить числа от 1 до 9 в виде суммы S двузначных чисел. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
6. Покажем, как можно получить числа от 9a +1 до 9a +9 в виде суммы S двузначных чисел, где 1 ≤a ≤ 9. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
7. Таким образом, мы показали, как получить все числа от 1 до 9a+ 9, где 1 ≤a ≤ 9, то есть до 90, двузначными числами. Тогда пятизначными числами мы тоже можем получить числа от 1 до 90, просто приписав три нуля в конце каждого из двузначных чисел.
8. Заметим, что этим же способом мы можем получить числа от 91 до 333. Для этого к каждому из двузначных чисел A и B припишем в конце не три нуля, а цифры 900, 990 или 999. Сумма S для получившихся пятизначных чисел будет складываться из вклада первых двух цифр и вклада последних трёх цифр. Заметим, что вклад первых двух цифр может быть любым числом от 1 до 90. Например. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
9. если взять младшие три цифры 999 и 999, то вклад последних трёх цифр равен 9⋅9+ 9⋅9+ 9⋅9 = 243, и тогда итоговая сумма S может быть от 244 до 333;
10. если взять 999 и 990, то вклад последних трёх цифр равен 9⋅9+ 9⋅9+ 9⋅0 =162, и тогда S может быть от 163 до 252;
11. если взять 999 и 900, то вклад последних трёх цифр равен 9⋅9+ 9⋅0+ 9⋅0 =81, и тогда S может быть от 82 до 171.
12. Таким образом, мы можем получить все числа от 1 до 333.
13. Осталось получить числа 334, 335, 336, 337, 338, 339 и 340. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
14. Сумма S для чисел 99992 и 99995 равна 334: 9 ⋅9⋅4+ 2⋅5= 334
15. Сумма S для чисел 99992 и 99995 равна 334. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
16. Сумма S для чисел 99987 и 99984 равна 335: 9⋅9⋅3+ 8 ⋅8 +7 ⋅4= 335
17. Сумма S для чисел 99987 и 99984 равна 335. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
18. Сумма S для чисел 98889 и 98887 равна 336: 9⋅9+ 8⋅8 ⋅3 +9 ⋅7= 336
19. Сумма S для чисел 98889 и 98887 равна 336. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
20. Сумма S для чисел 98888 и 98888 равна 337: 9 ⋅9+ 8⋅8⋅4= 337
21. Сумма S для чисел 98888 и 98888 равна 337. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
22. Сумма S для чисел 99888 и 99886 равна 338: 9⋅9⋅2+ 8⋅8 ⋅2 +8 ⋅6= 338
23. Сумма S для чисел 99888 и 99886 равна 338. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
24. Сумма S для чисел 99887 и 99887 равна 339: 9 ⋅9⋅2+ 8⋅8⋅2+ 7⋅7 =3393
25. Сумма S для чисел 99887 и 99887 равна 339. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
26. Сумма S для чисел 99995 и 99985 равна 340: 9⋅9⋅3+ 9 ⋅8 +5 ⋅5= 340
27. Сумма S для чисел 99995 и 99985 равна 340. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
28. Таким образом, все числа от 1 до 340 можно получить в виде суммы S для двух некоторых пятизначных чисел.

Ответ: а) Да, существуют б) Нет, не существуют в) Да, верно