В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 25 % от общего количества контейнеров. а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 20 % от общей массы всех контейнеров? б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60 % от общей массы всех контейнеров? в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

Текстовый конспект решения

1. a) Если в порту всего 7 контейнеров массой 20 тонн и 1 контейнер массой 60 тонн, причём только 2 контейнера массой 20 тонн заполнены сахарным песком, то количество контейнеров с сахарным песком составляет 2:(7+ 1) ⋅100% = 25% от общего количества контейнеров.
2. Масса контейнеров с сахарным песком равна 2⋅20 =40 тонн, масса всех контейнеров равна 7⋅20+ 1⋅60 =200 тонн, а значит, масса контейнеров с сахарным песком составляет 40 :200 ⋅100% = 20% от общей массы всех контейнеров.
3. б) Предположим, что в порту было x контейнеров массой 20 тонн и y контейнеров массой 60 тонн, среди которых с сахарным песком было a контейнеров массой 20 тонн и b контейнеров массой 60 тонн. Если масса контейнеров с сахарным песком составляет 60% от общей массы контейнеров, то должна выполняться система уравнений. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
4. Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из него второе. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
5. Таким образом, система принимает вид. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
6. Из равенства − 3a+ 7b= x +7y получаем 7(y− b) +x +3a = 0. Поскольку x ≥ a≥ 0 и y ≥ b ≥0, то это равенство выполняется только при y =b, x = a= 0.
7. Тогда из первого уравнения системы следует, что 4b= y, но тогда a = b= y = x= 0, что невозможно.
8. Следовательно, масса контейнеров с сахарным песком не может составить 60% от общей массы контейнеров.
9. в) Масса контейнеров с сахарным песком будет составлять наименьшую долю от массы всех контейнеров в случае, когда масса каждого контейнера с сахарным песком равна 20 тонн. Тогда b= 0, значит, 4a= x+ y. Нам нужно найти наименьшее значение величины
10. Наименьшее значение дроби достигается при наибольшей величине знаменателя, то есть когда x — наименьшее. Мы знаем, что x ≥ a, поэтому
11. Значит, масса контейнеров с сахарным песком может составлять не менее 10% от общей массы контейнеров.
12. Пусть в порту a= 1 контейнер массой в 20 тонн, который заполнен сахарным песком, и y = 4a− x= 4a− a =3 контейнера массой в 60 тонн, которые заполнены не сахарным песком. Тогда масса контейнеров с сахарным песком составляет
13. от общей массы всех контейнеров.

Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 10%