В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем. а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем? б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну? в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Текстовый конспект решения

1. Пусть изначально было x юношей и x девушек. Пусть a парней из x послали по 16 писем девушкам.
2. а) Если a юношей отправили по 16 писем, то x− a юношей отправили по 5 писем. Всего было отправлено 16 ⋅a+ 5⋅(x − a)= 5x + 11a писем. Если каждая девушка получила по 7 писем, то всего писем было получено 7x. Значит,
3. При a= 2,x= 11 равенство выполняется. Значит, если девушек и юношей было по 11 и 2 юноши отправили по 16 писем, а 9 — по 5, то каждая девушка получила по 7 писем. Действительно, 2⋅16 +9 ⋅5 = 11⋅7= 77.
4. б) Пусть каждая девушка получила по n писем. В предыдущем пункте мы получили, что всего писем было отправлено 5x+ 11a, тогда выполняется равенство. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
5. Докажем, что x не может быть меньше 11. Пусть это не так.
6. По условию юношей, отправивших по 5 писем, хотя бы 2, то есть x − a≥ 2; юношей, отправивших по 16 писем, хотя бы 2, то есть a ≥ 2, поэтому x≥ 4. Из предположения x < 11, поэтому получаем: a< x,3< x< 11.
7. Число n − 5= 11a x — натуральное, поэтому x делит 11a.
8. Так как 11 — простое число и x > 1, x< 11, то a должно делиться на x, но a < x. Противоречие. Значит, x≥ 11.
9. Пример на 11 девушек был приведен в пункте а).
10. в) Если девушки получили разное количество писем, то полученное количество писем больше или равно суммарному количеству писем от 0 до x− 1. Девушка с наименьшим количеством писем получила хотя бы 0 писем, следующая по количеству писем получила хотя бы 1, …, девушка с наибольшим количеством писем получила хотя бы x − 1 письмо. Тогда можем записать неравенство. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
11. Заметим, что a ≤ x− 2, поэтому. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
12. Найдем решения этого неравенства. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
13. Значит,
14. Значит, x может быть не более 32. Пример для x =31 . Формула и подстановка показаны на изображении решения.
15. Суммарно 31 девушка получила 474 письма: первые 30 девушек получили разное количество писем от 0 до 29, последняя получила 39 писем. При этом 29 юношей отправили по 16 писем, 2 юноши отправили по 5 писем.

Ответ: а) Да, могло б) 11 в) 31