На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел
из записанных является целым числом. а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013? б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403? в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа $n,$ большего 1. Найдите наименьшее возможное
значение $n.$

Текстовый конспект решения

1. а) Докажем, что все числа на доске дают одинаковый остаток при делении на 4. Предположим противное: пусть существуют два числа a и b, которые дают разные остатки при делении на 4. Рассмотрим четыре числа: a,c,d,e. Их среднее арифметическое целое, поэтому сумма a +c+ d +e делится на 4. Теперь рассмотрим четыре числа: b,c,d,e. Их сумма также должна делиться на 4. Но тогда разность этих сумм. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
2. должна делиться на 4. Однако по предположению a и b дают разные остатки при делении на 4, поэтому их разность не делится на 4. Противоречие. Значит, все числа на доске имеют одинаковый остаток при делении на 4.
3. Аналогично доказывается, что все числа на доске имеют одинаковый остаток при делении на 5. Действительно, рассмотрим пять чисел: a,b,c,d,e. Их среднее арифметическое целое, поэтому сумма a+ b+ c+ d+ e делится на 5. Теперь рассмотрим пять чисел: b,c,d,e,f. Их сумма также должна делиться на 5. Тогда разность. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
4. должна делиться на 5. Таким образом, разность любых двух чисел делится на 5, поэтому все числа дают одинаковый остаток при делении на 5.
5. Так как 4 и 5 взаимно просты, то все числа на доске имеют одинаковый остаток при делении на 20.
6. Теперь проверим числа 403 и 2013. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
7. Остатки при делении на 20 равны соответственно 3 и 13, то есть не равны друг другу. Поэтому числа 403 и 2013 не могут одновременно находиться на доске.
8. б) Из пункта а) все числа на доске имеют одинаковый остаток при делении на 20. Число 403 даёт остаток 3 при делении на 20, поэтому все числа имеют остаток 3 при делении на 20, а значит, и остаток 3 при делении на 4.
9. Рассмотрим возможные остатки квадратов натуральных чисел при делении на 4. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
10. если число чётное, то его квадрат делится на 4 (остаток 0);
11. если число нечётное, то его квадрат даёт остаток 1 при делении на 4.
12. Таким образом, квадрат натурального числа не может давать остаток 3 при делении на 4. Следовательно, среди чисел с остатком 3 при делении на 4 не может быть квадрата.
13. в) Из пункта а) все числа на доске имеют одинаковый остаток при делении на 20. Число 1 даёт остаток 1 при делении на 20, поэтому все числа имеют остаток 1 при делении на 20. В частности, число n2 также должно давать остаток 1 при делении на 20.
14. Рассмотрим квадраты натуральных чисел n> 1 . Формула и подстановка показаны на изображении решения.
15. Таким образом, наименьшее n> 1, для которого n2 даёт остаток 1 при делении на 20, это n= 9.
16. Пример набора из 10 различных натуральных чисел, удовлетворяющих условию. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
17. Все числа имеют вид 20k + 1, поэтому при делении на 20 дают остаток 1. Сумма любых четырёх чисел делится на 4, так как каждое число даёт остаток 1, а сумма четырёх единиц равна 4, что делится на 4. Аналогично, сумма любых пяти чисел делится на 5, так как сумма пяти единиц равна 5, что делится на 5. Таким образом, средние арифметические любых четырёх или пяти чисел целые.

Ответ: а) Нет, не могут б) Нет, не может в) 9