Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое $-$ трёхзначное и оба кратны 45. а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205? б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?

Текстовый конспект решения

1. а) По условию оба числа должны делиться на 45, значит, каждое число делится и на 5, и на 9, так как 5 и 9 взаимно просты.
2. По признаку делимости на 5, оба числа должны заканчиваться на 0 или 5. Так как в наборе цифр у нас один 0 и одна 5, можно сказать, что первое число оканчивается на 5, а второе — на 0.
3. Остались цифры 1, 2, 3, 7, 9. По признаку делимости на 9, сумма цифр каждого из чисел должна делиться на 9. Тогда посмотрим какие цифры могут быть в одном числе с 0. Заметим, что их две, если второе число трёхзначное, или три, если второе число четырёхзначное. Сумму 9 двумя цифрами можно набрать так: 2 +7 = 9.
4. Пусть первое число состоит из цифр 2, 7 и 0. Тогда второе состоит из цифр 1, 3, 9 и 5, то есть сумма его цифр равна 18. Тогда как бы мы не расположили цифры в числах, они оба будут делится на 45. Значит, осталось подобрать правильный порядок цифр в числах.
5. Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.
6. Например, если трёхзначным будет число 270, а четырёхзначным — число 1935, то их сумма будет равна
7. Заметим, что 270= 45⋅6, а 1935= 45⋅43.
8. б) Если оба числа кратны 45, то и их сумма будет кратна 45. В частности, она также будет кратна 9. Но число 3435 не делится на 9. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
9. Значит, эта сумма не может быть равна 3435.
10. в) По признаку делимости на 5, если число делится на 5, то оно оканчивается на 0 или на 5. Оба числа из условия должны делиться на 5, так как они делятся на 45. Тогда первое число оканчивается на 5, а второе – на 0.
11. По признаку делимости на 9, если число делится на 9, то и его сумма цифр делится на 9. Сумма всех цифр равна
12. Тогда у одного числа сумма цифр будет равна 18, а у другого — 9, потому что обе эти суммы должны быть больше 0.
13. Заметим, что если в числе есть 9, то в нем еще есть хотя бы одна ненулевая цифра, то есть сумма его цифр больше 9, а значит равна 18.
14. Предположим, что сумма цифр трёхзначного числа равна 9. Его последняя цифра 0 или 5, тогда вторая цифра 9 или 4. Но среди цифр 1, 2, 3, 7 нет 9 и 4. Значит, 9 содержится в четырёхзначном числе.
15. Тогда есть два варианта: либо в четырёхзначном числе есть 9 и 0, либо — 9 и 5.
16. Тогда трёхзначное число состоит из цифр 5, 3, 1 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 315.
17. Тогда сумма этих чисел равна 9720+ 315 = 10035.
18. Тогда трёхзначное число состоит из цифр 7, 2, 0 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 720.
19. Тогда сумма этих чисел равна 9315+ 720 = 10035.
20. Значит, максимально возможная сумма чисел равна 10035.

Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 10035