На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 20. а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся
на 21? б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся
на 15? в) Найдите наибольшее возможное число $k$ такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на $k.$

Текстовый конспект решения

1. а) Приведем пример. Пусть записаны числа от 21 до 126 включительно. Среди них 6 чисел кратны 21: это 21, 42, 63, 84, 105, 126. При этом кратных 20 чисел ровно 5: это 40, 60, 80, 100, 120. Данный набор соответствует условию.
2. б) Заметим, что так как ровно 5 чисел кратны 20, то наименьшее количество чисел достигается в случае, когда набор начинается на число, кратное 20, и заканчивается на число, кратное 20. В таком случае количество чисел равно 4 ⋅20 +1 = 81.
3. Среди любых 15 последовательных натуральных чисел ровно одно делится на 15. Поэтому среди 81 последовательного числа количество чисел, кратных 15, не меньше чем
4. Это противоречит условию, согласно которому чисел, делящихся на 15, должно быть меньше пяти. Значит, описанная ситуация невозможна.
5. в) Покажем, что k может равняться 23. Рассмотрим набор чисел от 161 до 276. В нём 6 чисел, кратных 23: 161, 184, 207, 230, 253, 276. А чисел, кратных 20, ровно 5: 180, 200, 220, 240, 260.
6. Теперь докажем, что k не может быть больше или равно 24. Пусть k ≥ 24 . Наименьшее количество последовательных натуральных чисел, среди которых 6 чисел делятся на k , равно 5k+ 1 (если набор начинается и заканчивается на числа, кратные k ). При k = 24 это 121 число. Но среди любых 121 последовательного натурального числа обязательно найдётся не менее 6 чисел, делящихся на 20, что противоречит условию ровно пяти таких чисел. Для k > 24 минимальная длина набора будет ещё больше, а значит, условие тем более не выполнится. Следовательно, наибольшее возможное k равно 23.

Ответ: а) Да, могло б) Нет, не могло в) 23