На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные числа, делящиеся на 3 (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-45.$ Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно утроенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек? б) Может ли на столе лежать ровно 100 красных карточек? в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

Текстовый конспект решения

1. а) Пусть на столе лежат 5 красных карточек с числами −9,− 6,− 3,0,3 и одна синяя с числом 5.
2. Тогда все числа на красных карточках делятся на 3, а число, написанное на синей карточке делится на 5.
3. Наибольшее число, написанное на красной карточке, равно 3. Этому же значению равно утроенное количество синих карточек. Наибольшее число, написанное на синей карточке, равно 5. Этому же значению равно количество красных карточек. Таким образом, все условия выполнены.
4. б) Пусть красных карточек 100. Тогда наибольшее число на синей карточке равно 100.
5. Пусть синих карточек s. Тогда наибольшее число на красной карточке равно 3s, и оно действительно делится на 3.
6. Красные карты. Имеется 100 красных карт с различными числами, кратными 3, большими −45 и с наибольшим числом 3s. Наименьшее кратное 3 число, большее − 45, – это −42. Чтобы такой набор существовал, количество различных чисел, кратных 3, в промежутке от −42 до 3s должно быть не меньше 100. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
7. Синие карты. Имеется s синих карт с различными числами, кратными 5, большими −45 и с наибольшим числом 100. Наименьшее кратное 5 число, большее − 45, – это − 40. Количество различных чисел, кратных 5, в промежутке от −40 до 100. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
8. Значит, синих карт не может быть больше 29. Но из условия для красных карт мы получили s≥ 85. Противоречие.
9. Следовательно, 100 красных карт быть не может.
10. в) Пусть s – количество синих карт, k – количество красных карт.
11. Самое большое число на красной карте равно 3s. Самое большое число на синей карте равно k.
12. Числа на красных картах кратны 3, различны, больше − 45, наибольшее равно 3s. Наименьшее кратное 3 число, большее −45, – это − 42. Количество различных чисел, кратных 3, в промежутке от −42 до 3s не может быть меньше k. Всего таких чисел. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
13. Так как всего красных карт k, то
14. Числа на синих картах кратны 5, различны, больше −45, наибольшее равно k. Наименьшее кратное 5 число, большее −45, – это −40. Количество различных чисел, кратных 5, в промежутке от −40 до k не может быть меньше s. Всего таких чисел. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
15. Так как всего синих карт s, то
16. Из двух ограничений получаем. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
17. Заметим, что чем больше будет s, тем больше может быть k.
18. Пусть s =15. Тогда наибольшее число на красной карте равно 3 ⋅15 = 45.
19. Из неравенства 5s− 45≤ k ≤ s+ 15 при s= 15 получаем. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
20. Значит, k = 30.
21. Составим набор карт. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
22. Синие карты (15 штук). Числа кратны 5, различны, больше −45, наибольшее равно 30. Наименьшее кратное 5 число, большее −45, – это −40. Количество чисел, кратных 5, в промежутке от −40 до 30: 30− (− 40) 70 −5−+ 1= 5-+ 1 =14 +1 = 15. Это в точности набор −40,−35,−30,...,20,25,30.
23. Синие карты (15 штук). Числа кратны 5, различны, больше −45, наибольшее равно 30. Наименьшее кратное 5 число, большее −45, – это −40. Количество чисел, кратных 5, в промежутке от −40 до 30. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
24. Это в точности набор −40,−35,−30,...,20,25,30.
25. Красные карты (30 штук). Числа кратны 3, различны, больше −45, наибольшее равно 45. Наименьшее кратное 3 число, большее −45, – это −42. Количество чисел, кратных 3, в промежутке от −42 до 45: 45−(−42) 87 3 + 1= 3 + 1 =29 +1 = 30. Это в точности набор −42,−39,−36,...,39,42,45.
26. Красные карты (30 штук). Числа кратны 3, различны, больше −45, наибольшее равно 45. Наименьшее кратное 3 число, большее −45, – это −42. Количество чисел, кратных 3, в промежутке от −42 до 45. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
27. Это в точности набор −42,−39,−36,...,39,42,45.
28. Таким образом, k = 30 возможно. Следовательно, наибольшее количество красных карт равно 30.

Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 30