В течение $n$дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем
в предыдущий день. а) Может ли $n$ быть больше 5? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Текстовый конспект решения

1. а) Заметим, что если у нас на доске записано хотя бы две единицы, то на следующий день можно написать такой же набор с заменой двух единиц на одну тройку, тогда количество чисел уменьшится на 1, а сумма увеличится на 1 и все условия при этом выполняются. Значит, можно изначально написать 12 единиц и пять раз заменять две единицы на тройку, тем самым получим корректную последовательность наборов на 6 дней. Таким образом, n может быть больше 5.
2. б) Построим пример для n = 4. В первый день запишем число 2 и двенадцать чисел 3, во второй день — двенадцать чисел 4, в третий день — шесть чисел 4 и пять чисел 5, а в четвёртый день — десять чисел 5. Тогда сумма чисел в первый день равна 38, во второй — 48, в третий — 49, а в четвёртый — 50. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день равна
3. Среднее арифметическое всех записанных чисел равно
4. в) Так как сумма чисел, записанных в первый день, равна 6, то записано не более шести чисел. По условию в каждый следующий день количество чисел хотя бы на 1 меньше, а сумма хотя бы на 1 больше, чем в предыдущий.
5. Если n = 6, то в шестой день записано одно число. Но в шестой день сумма должна быть строго больше суммы первого дня, что невозможно, так как числа больше 5 использовать нельзя.
6. Если n = 5, то в пятый день записано максимум 2 числа с суммой не более 10. Тогда суммы в четвертый, третий и второй дни не более 9, 8, 7 соответственно, следовательно, сумма всех чисел не более 6+ 7+ 8+ 9+ 10= 40.
7. Если n = 4, то в четвертый день записано максимум 3 числа с суммой не более 15. Тогда суммы в третий и второй дни не более 14 и 13 соответственно, следовательно, сумма всех чисел не более 6 +13 +14+ 15= 48.
8. Если n = 3, то в третий день записано максимум 4 числа с суммой не более 20. Тогда сумма во второй день не более 19, следовательно, сумма всех чисел не более 6+ 19+ 20= 45 .
9. Если n = 2, то во второй день записано максимум 5 чисел с суммой не более 25, следовательно, сумма всех чисел не более 6+ 25= 31.
10. Если n = 1, то сумма всех чисел ровна 6.
11. Получили, что сумма чисел точно не превосходит 48. Приведем пример на основании рассуждений выше для суммы 48. Это возможно при n = 4, тогда в четвертый день записаны 3 числа с суммой 15 — это 5, 5, 5; в третий день — 5, 5, 3, 1; во второй — 5, 5, 1, 1, 1; в первый — 1, 1, 1, 1, 1, 1. Общая сумма равна
12. Значит, наибольшая возможная сумма всех чисел при данных условиях равна 48.

Ответ: а) Да б) Да в) 48