На столе лежит $N$ монет по 2 рубля и $(1200-N)$ монет по 5 рублей ($N$ — натуральное число от 1 до 1199). Оказалось, что если взять любые 500 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе. а) Может ли $N$ равняться 400? б) Может ли $N$ равняться 600? в) Сколько различных значений может принимать число $N?$

Текстовый конспект решения

1. а) Для начала проверим, будет ли выполняться неравенство, если мы возьмем максимальное число двоек в сумме 500 монет. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
2. Далее заметим, что если мы в сумме 500 монет заменим двойку на пятерку, то сумма слева увеличится на 3, а сумма справа останется неизменной. То есть, раз при наибольшим количестве двоек неравенство верно, то и при любом другом наборе монет условие задачи будет выполнено.
3. Значит, N может равняться 400.
4. б) Приведем пример набора из 500 монет, при котором условие не выполняется. Возьмем только двойки. Тогда
5. Значит, N не может равняться 600.
6. в) Рассмотрим два случая: N больше 0 и не больше 500 и N больше 500 и меньше 1200. В обоих случаях будем брать наименьшую возможную сумму 500 монет, то есть брать наибольшее количество двоек. Запишем условие для первого случая. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
7. То есть все N от 1 до 444 нам подходят.
8. Далее рассмотрим второй случай. Тогда наименьшая сумма из 500 монет будет состоять только из двоек. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
9. То есть все N от 667 до 1199 нам подходят.
10. Таким образом, количество N, которые нам подходят, равно 444+ 1199− 666 = 977.

Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 977