На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23. а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20? б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20? в) Найдите наибольшее возможное значение $k.$

Текстовый конспект решения

1. а) Приведем пример. Пусть записаны числа от 23 до 92 включительно. Среди них 4 числа, кратных 23: это 23, 46, 69, 92. При этом кратных 20 чисел ровно 3: 40, 60, 80. Данный набор соответствует условию.
2. б) Предположим, что среди чисел действительно нашлось 10, кратных 20. Тогда кратных 23 чисел среди них не менее 11. Тогда всего чисел не менее чем 23⋅10+ 1 =231, поскольку среди 23 подряд идущих чисел ровно одно число может быть кратно 23.
3. Тогда наименьшее значение k, при котором возможно наличие 11 чисел, кратных 23, достижимо, только если имеется 10 полных отрезков по 23 числа и одно число, кратное 23.
4. Но среди 231 подряд идущих чисел не менее 231−19= 10,6 > 10 20 чисел, кратных 20. Разберемся, откуда взялась оценка на 231−19. 20 Разобьем числа, начиная с самого первого, на блоки по 20 чисел. В каждом таком блоке ровно одно число, кратное 20. Тогда таких полных блоков не менее 11 и вне блоков может остаться не более 19 чисел.
5. Примечание для лучшего понимания оценки.
6. Пронумеруем числа a1 , a2 , a3. .., ak. Выделим блоки a1− a20 , a21− a40 и так далее. Поймем, что в каждом таком блоке ровно одно число, кратное 20, так как среди подряд идущих 20 чисел однозначно встречается ровно 1 число, кратное 20. Тогда попробуем понять, сколько чисел останется в конце, когда мы поделим все на блоки.
7. На самом деле, в конце не может остаться более 19 чисел, так как иначе мы сможем добавить еще один блок размера 20. Тогда получается, что блоков будет k-−a 20 , где a ≤19. Тогда чисел, кратных 20, будет не менее чем k−19 20 . Здесь мы подставили нашу оценку на 231 число вместо k и получили 231 − 19 −20−.
8. в) Пусть чисел, кратных 20, a штук. Тогда аналогично предыдущему пункту чисел, кратных 23, не менее чем a+ 1, а k ≥ 23⋅a+ 1. Причем чисел, кратных 20, не менее
9. Тогда имеем неравенство
10. Тогда чисел, кратных 20, не более 6 штук. Рассуждениями, аналогичными рассуждениям пункта б), получаем, что
11. Приведем пример. Пусть последовательность начинается с числа 161 и заканчивается числом 299. Чисел в последовательности ровно
12. Числа, кратные 23 — это числа вида 23⋅n, где n лежит в промежутке от 7 до 13 (числам 7 и 13 соответствуют «граничные» числа 161 и 299). Этих чисел ровно
13. При этом числа, кратные 20, — это числа 180, 200, ... , 280. Они имеют вид 20⋅m, где m лежит в промежутке от 9 то 14 (числам 9 и 14 соответствуют «граничные» числа 180 и 280). Этих чисел ровно
14. Условие выполняется. Тогда максимально возможное значение k равняется 139.

Ответ: а) Да, могло б) Нет, не могло в) 139