На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-36.$ Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка? б) Может ли на столе лежать ровно 50 синих карточек? в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

Текстовый конспект решения

1. а) Пусть на столе лежат 3 красные карточки с числами −2,0,2 и одна синяя с числом 3.
2. Тогда все числа на красных карточках чётные, а число, написанное на синей карточке, делится на 3.
3. Наибольшее число, написанное на красной карточке, равно 2. Этому же значению равно удвоенное количество синих карточек. Наибольшее число, написанное на синей карточке, равно 3. Этому же значению равно количество красных карточек. Таким образом, все условия выполнены.
4. б) Пусть синих карт 50, а красных карт k.
5. Самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, то есть 2⋅50 =100. Заметим, что 100 – чётное число, что соответствует условию для красных карт.
6. Самое большое число на синей карте равно количеству красных карт, то есть k. По условию оно должно делиться на 3, значит, k кратно 3.
7. Синие карты. Имеется 50 синих карт с различными числами, кратными 3, большими −36, и с наибольшим числом k. Наименьшее кратное 3 число, большее − 36, – это −33. Чтобы такой набор существовал, количество различных чисел, кратных 3, в промежутке от −33 до k должно быть не меньше 50. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
8. Красные карты. Имеется k красных карт с различными чётными числами, большими −36, и с наибольшим числом 100. Наименьшее чётное число, большее − 36, – это −34. Количество различных чисел, кратных 2, в промежутке от − 34 до 100. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
9. Значит, красных карт не может быть больше 68. Но из условия для синих карт мы получили k ≥ 114. Противоречие.
10. Следовательно, 50 синих карт быть не может.
11. в) Пусть s – количество синих карт, k – количество красных карт.
12. Самое большое число на красной карте равно 2s, и оно должно быть чётным. Самое большое число на синей карте равно k, и оно должно делиться на 3. Числа на картах одного цвета различны и больше − 36.
13. Числа на красных картах чётные, различны, больше − 36, наибольшее равно 2s. Наименьшее кратное 2 число, больше −36, – это −34. Количество различных чисел, кратных 2, в промежутке от −34 до 2s не может быть меньше k. Всего таких чисел. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
14. Так как всего красных карт k, то
15. Числа на синих картах кратны 3, различны, больше −36, наибольшее равно k. Наименьшее кратное 3 число, больше − 36, – это −33. Количество различных чисел, кратных 3, в промежутке от −33 до k не может быть меньше s. Всего таких чисел. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
16. Так как всего синих карт s, то
17. Из двух ограничений получаем. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
18. Пусть s =27. Тогда наибольшее число на красной карте равно 2 ⋅27 = 54. Заметим, что 54 – чётное число, что соответствует условию.
19. Из неравенства 3s− 36≤ k ≤ s+ 18 при s= 27 получаем. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
20. Значит, k = 45.
21. Составим набор карт. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
22. Синие карты (27 штук). Числа кратны 3, различны, больше −36, наибольшее равно 45. Количество чисел, кратных 3, в промежутке от −33 до 45: 45−(−33) 78 3 + 1= 3 + 1 =26 +1 = 27. Это в точности набор −33,−30,−27,...,42,45.
23. Синие карты (27 штук). Числа кратны 3, различны, больше −36, наибольшее равно 45. Количество чисел, кратных 3, в промежутке от −33 до 45. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
24. Это в точности набор −33,−30,−27,...,42,45.
25. Красные карты (45 штук). Числа кратны 2, различны, больше −36, наибольшее равно 54. Это в точности набор −34,−32,−30,...,52,54.
26. Таким образом, s =27 возможно. Следовательно, наибольшее количество синих карт равно 27.

Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 27