По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3. а) Может ли $N$ быть равным 360? б) Может ли $N$ быть равным 149? в) Найдите наибольшее значение $N.$

Текстовый конспект решения

1. Пронумеруем числа в кругу от 1 до N. Получим следующую расстановку. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
2. ..⋅⋅ aaaa⋅aaaa.aa1234ii+i+i+NN123−1
3. а) Рассмотрим четыре подряд идущих числа
4. Если бы ai делилось на 3, то из делимости суммы (ai+ai+1+ ai+2 +ai+3) на 3 следовало бы, что сумма (ai+1+ ai+2+ ai+3) кратна 3, что противоречит условию.
5. Аналогично рассуждая, мы можем сказать, что ai+3 из этой четверки не делится на 3. Так как числа расставлены по кругу, то для каждого числа есть две четверки, где оно первое или четвертое. Следовательно, все N чисел не делятся на 3.
6. Чисел от 1 до 400, делящихся на 3, 133 штуки. Следовательно, не кратных 3 — 267 штук, что меньше 360.
7. Ответ: нет, не может.
8. б) Из пункта а) следует, что проблем с количеством чисел нет. Также из него следует, что среди этих чисел нет чисел, дающих остаток 0 при делении на 3. Следовательно, могут быть только остатки 1 и 2.
9. Единственная четверка чисел, каждое из которых может быть равно 1 или 2, такая, что сумма этих четырех чисел делится на 3 — это {1;1;2;2}.
10. Рассмотрим вместо расставленных N чисел расставленные по кругу их остатки при делении на 3, то есть числа 1 и 2.
11. Если где-то стоят рядом две единицы, то есть ...,1,1,..., то справа и слева от 1,1 должны быть 2,2. Тогда за/перед 2,2 должны стоять 1,1, то есть последовательность остатков будет такая. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
12. Следовательно, единиц и двоек должно быть четно, значит и всех чисел должно быть четно. А 149 нечетно.
13. Если где-то рядом стоят 1,2, то по краям от них стоят 1 и 2, то есть имеем либо четверку 1,1,2,2 (рассмотрели выше), либо 2,1,2,1. Следовательно, еще одна возможная последовательность остатков такая. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
14. Тогда числа можно разбить на пары вида 1,2. Однако 149 чисел нельзя разбить на пары.
15. Ответ: нет, не может.
16. в) Из пункта а) получаем оценку на количество чисел N ≤ 267. А в пункте б) мы получили, что количество чисел четно, следовательно, наибольшее возможное значение N равно 266.
17. В качестве примера возьмем числа от 1 до 398 в порядке возрастания, исключив из них делящиеся на 3, что соответствует последовательности остатков

Ответ: а) Нет б) Нет в) 266