Ваня написал на доске трёхзначное число $A.$ Петя переписал это число $A,$ вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B.$ Коля тоже переписал это число $A,$ вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число $C.$ а) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C,$ если $A>150$? б) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C,$ если $540\le A<600$? в) Найдите наибольшее число $A,$ для которого может быть верным равенство $A=B\cdot C.$

Текстовый конспект решения

1. а) Да, может. Например, если A = 625, B = 25, C =25, то получаем равенство. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
2. б) Заметим, что если 540 ≤A < 600, то первая цифра числа A равна 5. Также заметим, что вторая цифра числа A не меньше 4. Таким образом, и B, и C не меньше 40. Значит,
3. Тогда указанное равенство не может быть верным.
4. в) Сначала приведем пример: A= 910, B = 91, C = 10, тогда
5. Пусть A = 9bc. Так как есть пример на 910, то b ≥1, поэтому можем считать, что и B, и C — двузначные числа.
6. Тогда заметим, что если оба мальчика зачеркнули b или c, то B ⋅C ≥8100. Такое нам не подходит. Значит, как минимум один из мальчиков вычеркнул первую цифру, пусть это был Серёжа.
7. Так как B – двузначное число, то b ≥1 и − B =bc= 10b+ c.
8. Оценим B ⋅90 . Формула и подстановка показаны на изображении решения.
9. Тогда если Коля не вычеркнул первую цифру, то b= 1. (при большем b произведение B∗ C будет не трёхзначным)
10. Значит, − A= 91c.
11. Если c ≥ 1, то C ≥ 91 и B ≥ 11. Тогда
12. Однако A – трёхзначние число, следовательно, такого быть не может. Значит, c =0. Получили пример A= 910.
13. Пусть оба мальчика вычеркнули первую цифру. Тогда B = C = bc. Значит, A = B2. Если 910< A < 1000, то B <32. Нам надо найти A > 910. Тогда B > 30, так как 302 = 900. Значит, B = 31. Но тогда A = 961, что невозможно, так как 961 не оканчивается на 31.
14. Таким образом, 910 — наибольшее возможное A.

Ответ: а) Да, может б) Нет, не может в) 910