На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел
из записанных является целым числом. а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 305 и 1511? б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 305? в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число $n$ и его квадрат $n^2$ Найдите наименьшее возможное значение $n$

Текстовый конспект решения

1. Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 3. Действительно, положим обратное. Пусть числа a и b дают разные остатки при делении на 3. Тогда рассмотрим 3 числа a, c, d. Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 3.
2. А теперь рассмотрим набор из чисел b, c, d. Их сумма также должна быть кратна 3. Но числа a и b дают разные остатки при делении на 3. То есть разность (a+ c+ d) − (b+ c+ d)= a− b не делится на 3. Но разность двух чисел, кратных трем, должна делиться на 3. Противоречие.
3. Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 5.
4. а) Заметим, что числа 305 и 1511 дают разные остатки при делении на 5. Первое число дает остаток 0, второе — остаток 1. Получили противоречие с доказанным выше фактом.
5. б) Если на доске есть число 305, то все числа на доске дают остаток 2 при делении на 3, так как 305 =3 ⋅101 +2.
6. Рассмотрим возможные остатки квадратов натуральных чисел при делении на 3. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
7. если число кратно 3 (остаток 0), то его квадрат делится на 3 (остаток 0);
8. если число даёт остаток 1, то его квадрат даёт остаток 12 = 1;
9. если число даёт остаток 2, то его квадрат даёт остаток 2 2 = 4≡3 1.
10. Таким образом, квадрат натурального числа не может давать остаток 2 при делении на 3. Следовательно, среди чисел с остатком 2 при делении на 3 не может быть квадрата.
11. в) Переберем первые натуральные числа n и найдем первое подходящее под условия число.
12. n= 1, 2 n = 1. Не подходит, так как числа должны быть различные.
13. n= 2, 2 n = 4. При делении на 3 имеют разные остатки: n имеет остаток 2, а n2 имеет остаток 1).
14. n= 3, n2 = 9. При делении на 5 имеют разные остатки ( n имеет остаток 3, а n2 имеет остаток 4).
15. n= 4, n2 = 16. При делении на 5 имеют разные остатки ( n имеет остаток 4, а n2 имеет остаток 1).
16. n= 5, n2 = 25. При делении на 3 имеют разные остатки ( n имеет остаток 2, а n2 имеет остаток 1).
17. n= 6, n2 = 36. То, что нужно – оба числа кратны 3 и при делении на 5 дают остаток 1.
18. Приведем пример набора из 10 различных натуральных чисел, удовлетворяющих условию. Формула и подстановка показаны на изображении решения.
19. Все числа имеют вид 30k +6, поэтому при делении на 3 дают остаток 0, а при делении на 5 – остаток 1. Сумма любых трёх чисел делится на 3, так как каждое число кратно 3. Сумма любых пяти чисел делится на 5, так как каждое число даёт остаток 1, а сумма пяти единиц равна 5, что делится на 5. Таким образом, средние арифметические любых трёх или пяти чисел являются целыми.
20. Следовательно, n =6.

Ответ: а) Нет, не могут б) Нет, не может в) 6